從Asinowski, Banderier, Roitner等人撰寫的論文中，他們研究了具有禁止模式Motzkin path。不同禁止模式的Motzkin path具有類似的計數數列，他們研究的方向是分別計算出不同禁止模式Motzkin path的生成函數。而淡江大學研究生陳麒文，也經徐祥峻教授指導，對其禁止模式有了新的進展，透過研究生陳麒文的論文，發現那些相同的數列卻禁止不同模式的Motzkin path 存在著一一對應的關係，像是禁止UU模式n步的Motzkin path 對應禁止UD模式n+1步的Motzkin path ，以統計量等的方式可以知道DHU會與UHU等分布，也能使用遞迴的方式尋找如何產生一一對應。
本篇主要探討禁止DU模式n步下的Mitzkin paths 與禁止UD模式n+1步下的Mitzkin path、禁止DD,DU模式n步的Motzkin path對應禁止DD,UD模式n+1步的Motzkin path，以及禁止HD,DU模式n步的Motzkin paths 對應禁止DH,UD模式n+1步的Motzkin path 均存在一一對應，以及使用多組統計量的方式來尋找等分布，最後運用鏡射的方式來解決更多的一一對應。

From the paper by Asinowski, Banderier, Roitner et al., they study the Motzkin path with pattern-avoiding. Motzkin paths with different pattern-avoiding have similar counting sequences. The direction of their research is to calculate the generating functions of different pattern-avoiding Motzkin paths, and Tamkang University graduate student Chi-Wen, Chen, under the guidance of Professor Hsiang-Chun, Hsu, has made new progress in the pattern-avoiding. Through the thesis of graduate student Chi-Wen, Chen, it is found that there is a one-to-one correspondence between the Pattern-avoiding Motzkin paths of the same sequences, such as n-steps UU-avoiding Motzkin paths and (n+1)-steps UD-avoiding Motzkin paths, we can know statistic DHU and UHU are equal distributions, and also use recursive methods to find how to generate one-to-one correspondence.
This paper mainly discusses n-steps DU-avoiding Motzkin paths and (n+1)-steps UD-avoiding Motzkin paths, and n-steps DD,DU-avoiding Motzkin paths and (n+1)-steps DD,UD-avoiding Motzkin paths, and n-steps DH,DU-avoiding Motzkin paths and (n+1)-steps HD,UD-avoiding Motzkin paths. And used their joint distributions of statistics to find equal distributions, finally use mirroring to solve more statistic is equal joint distributions and how to one-to-one.

目錄
1 格點路徑,p1
1.1 簡介,p1
1.2 Motzkin 路徑,p2
1.3 禁止模式下的Motzkin path,p4
1.4 字典序,p9
2.組合證明,p12
2.1 Mn(DU)與Mn+1(UD),p12
2.2 Mn(HD,DU)與Mn+1(DH,UD),p19
2.3 Mn(DU,DD)與Mn+1(UD,DD),p21
3.統計量,p23
3.1 個別統計量,p23
3.2 聯合統計量,p29
3.3 鏡射,p31
3.4 Mn(DU)與Mn+1(UD)的統計量,p32
3.5 Mn(HD,DU)與Mn+1(DH,UD)的統計量,p36
3.6 Mn(DU,DD)與Mn+1(UD,DD)的統計量,p38
4. 找到的對應整理與數據支持,p40
4.1 找到的統計量對應整理,p40
4.2 數據上猜想與已症等分布表格統整,p41
圖目錄
1.1 開票過程「甲乙甲乙乙甲甲甲」所對應的格點路徑,p2
1.2 一個AD3的Domino Tiling對應3條不相交的Schroder path,p2
1.3 圓上4個等分點所畫出所有不相交的弦的方法,p3
1.4 Motzkin 路徑長度為4的所有路徑,p4
1.5 M5(DU)所有路徑,p5
1.6 Mn(UU)與Mn+1(UD)的第一種對應方法(n<=4),p8
1.7 M10(UU)的DHU路徑與M11(UD)的UHU路徑對應範例,p9
1.8 字典序生成示意圖,p10
1.9 Motzkin 路徑長度為5的所有路徑,p11
2.1 Mn(DU)與Mn+1(UD)的第一種對應方法,p14
2.2 Mn(DU)與Mn+1(UD)的第一種對應範例之1(n<=4),p15
2.3 Mn(DU)與Mn+1(UD)的第一種對應範例之2,p16
2.4 M22(DU)局部高處與局部低處示意圖,p16
2.5 Mn(DU)與Mn+1(UD)的第二種對應方法範例2,p17
2.6 Mn(DU)與Mn+1(UD)的第二種對應方法範例(n<=4),p18
2.7 Mn(HD,DU)與Mn+1(DH,UD)的對應方法範例之1(n<=4),p20
2.8 Mn(HD,DU)與Mn+1(DH,UD)的對應方法範例之2,p21
2.9 Mn(DU,DD)與Mn+1(UD,DD)的對應方法範例之2,p21
2.10Mn(DU,DD)與Mn+1(DD,UD)的對應方法範例之1(n<=4),p22
3.1 Mn(UU)與Mn+1(UD)對應分布示意圖,p27
3.2 Mn(UU)與Mn+1(UD)的第一種對應的第一類,p27
3.3 Mn(UU)與Mn+1(UD)的第一種對應的第二類,p28
3.4 Mn(UU)與Mn+1(UD)的第一種對應的第三類,p28
3.5 Mn(UU)與Mn+1(UD)的第一種對應的第四類,p28
3.6 M7(UU)與M7(DD)的鏡射關係,p31
表目錄
1.1  Asinowski等人在所分析出來的75種不同數列,p7
3.1  M6(DU)的HD的數量,p24
3.2  M15(UU)、M15(DU)、M15(DD)、M15(UD)的個別統計量分布,p25
3.3  禁止一個模式已證出來的統計量等分布表格,p26
3.4  禁止二個模式已證出來的統計量等分布表格,p26
3.5  UU與HD的統計量分布,p29
3.6  M6(DU)的UU與HD的聯合統計量,p30
3.7  Mn(DU)對應Mn+1(UD)證1的保持等分布統計量之表格,p34
3.8  Mn(DU)對應Mn+1(UD)證2的保持等分布統計量之表格,p35
3.9  Mn(DU)對應Mn+1(UD)鏡射保持等分布統計量之表格1,p35
3.10 Mn(DU)對應Mn+1(UD)鏡射保持等分布統計量之表格2,p36
3.11 Mn(DU)對應Mn+1(UD)鏡射保持等分布統計量之表格3,p36
3.12 Mn(HD,DU)對應Mn+1(DH,UD)保持等分布統計量之表格,p37
3.13 Mn(UH,DU)對應Mn+1(HU,UD)等分布統計量之表格,p38
3.14 保持聯合等分布統計量之表格整理1,p38
3.15 Mn(DU,DD)對應Mn+1(UD,DD)等分布統計量之表格,p38
3.16 Mn(DU,UU)對應Mn+1(UD,UU)等分布統計量之表格,p39
3.17 保持聯合等分布統計量之表格整理2,p39
4.1  禁止一個模式已證出的單一統計量等分布表格,p39
4.2  禁止二個模式已證出的單一統計量等分布表格之1,p40
4.3  禁止二個模式已證出的單一統計量等分布表格之2,p41
4.4  禁止二個模式已證出的單一統計量等分布表格之3,p41
4.5  Mn(UU)、Mn(DU)、Mn(DD)、Mn+1(UD)的統計量分布,p42
4.6  禁止兩個模式的等分布統計量之1,p42
4.7  禁止兩個模式的等分布統計量之2,p43
4.8  禁止兩個模式的等分布統計量之3,p43
4.9  禁止三個模式的等分布統計量之1,p44
4.10 禁止三個模式的等分布統計量之2,p44
4.11 禁止三個模式的等分布統計量之3,p44
4.12 禁止三個模式的等分布統計量之4,p45
4.13 禁止三個模式的等分布統計量之5,p45
4.14 Mn(DU)對應Mn+1(UD)的等分布聯合統計量,p46
4.15 Mn(UU)對應Mn+1(UD)的等分布聯合統計量,p47
4.16 Mn(HD,DU)對應Mn+1(HU,UD),p48
4.17 Mn(HD,DU)對應Mn+1(HD,UD),p48
4.18 Mn(UH,DD)對應Mn+1(HU,UD),p49
4.19 Mn(UH,DD)對應Mn+1(UD,DH),p49
4.20 Mn(UU,DH)對應Mn+1(HU,UD),p49
4.21 Mn(UU,DH)對應Mn+1(UD,DH),p49
4.22 Mn(UH,DU)對應Mn+1(HU,UD),p50
4.23 Mn(UH,DU)對應Mn+1(UD,DH),p50
4.24 Mn(HU,DD)對應Mn+1(HU,UD),p50
4.25 Mn(HU,DD)對應Mn+1(UD,DH)等分布聯合統計量,p50
4.26 Mn(DU,DD)對應Mn+1(DD,UD)等分布聯合統計量,p51
4.27 Mn(DU,DD)對應Mn+1(UU,UD)等分布聯合統計量,p52
4.28 Mn(DU,UU)對應Mn+1(DD,UD)等分布聯合統計量,p53
4.29 Mn(DU,UU)對應Mn+1(UU,UD)等分布聯合統計量,p54

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