分析方法發展：鍵結密度分析法與孤立電子分析法，能夠對使用密度泛函理論計算、解Kohn-Sham薛丁格方程式得出了系統的總電子雲的結果後，作電子雲的貢獻類型的分解。在此指的是能區分出固體材料或者分子中不同鍵結類型的電子雲(鍵結密度分析法)，以及能找出不參與鍵結的電子雲(孤立電子分析法)。
簡介：
孤立電子與非線性光學現象─「二倍頻」的關係密切。
以往實驗與理論計算發現，二倍頻係數(second harmonic coefficient)大部分的貢獻是來自於陰離子基團。這些陰離子基團存在於硼氧化物β-BaB2O4(BBO)、LiB3O5(LBO)、CsB3O5(CBO)、CsLiB6O10(CLBO) (因為非線性光學材料中氧化物的種類不少)中。陰離子基團指的是這些硼氧化物晶體中硼氧共價鍵結形成的各種不同的「子結構」。這些「子結構」對於二倍頻有相當的貢獻。然而藉由我們研究群發展的分析方法(倍頻係數能帶解析方法與孤立電子分析工具)分析，其解析度更好，已能鎖定「就是硼氧基團中的氧原子的孤立電子貢獻了二倍頻」。所以將來孤立電子分析工具將有助於在材料設計上，專門找有這種孤立電子存在的結構。
另外，目前仍在發展中的鍵結密度分析法，正好與孤立電子分析法相反，是用來分析晶體或是分子的鍵結電子貢獻的工具，能夠將總電子雲作類型分解 (分類為σ鍵、π鍵、δ鍵、φ鍵以及其各自的反鍵anti-bonding)。將來也能夠將態密度(Density of states)、吸收能譜等作貢獻分解。上述分析方法須將原子軌域函數轉動到特定鍵的自然座標軸上，以利對稱性的浮現。過去研究群已經實作了數值轉動，目前新採用了Wigner-D 矩陣對原子軌域基底函數作轉動。但是，有興趣的系統之電荷密度究竟長得像哪種鍵結類型呢?數學上就是和有興趣的系統算出來的波函數做投影的動作(類似Mulliken population)。
總言之，以上兩種分析方法將來都有助於分子、晶體(固體)材料的設計，提高電子結構分析的「解析度」。

[1]Z.H. Lin, X.X. Jiang ,L. Kang , P. Gong, S. Luo ,M.H. Lee. (2014). J. Phys. D: Appl. Phys, Vol.47, No.25 
[2] Chun-Hung Lo. (2005). Master's thesis. New Taipei City: Tamkang University, Department of Physics.
[3] R.N.Rashkeev, W.R.L. Lamberrecht, B. Segall. (1998). PRB, Vol.57, No.7, p3905-3919
[4] M.H.Lee, C.H. Yang, and J.H. Jan, (2004). PRB, Vol.70, 235110
[5] R. S.Mulliken. (1955). J.ChemPhys. Vol.23, No.10, p1833-1840

Over the past few years, more and more calculation results [1] revealed that the connection between nonbonding (lone-pair) electrons and the second harmonic generation (SHG) which is a phenomenon that the frequency of incident laser light can be doubled after the light pass through some materials called non-linear crystals such as β-BaB2O4(BBO), LiB3O5(LBO), CsB3O5(CBO), CsLiB6O10(CLBO), etc. 
Hence, professor Ming-Hsien Lee first proposed a new method named Lone-pair Density Analysis (LPDOS)[2] for calculating the density of states as well as the electron number of nonbonding. In this thesis, one of my two works is establishing this new method and atempts to use it to show that SHG is really comes from the nonbonding electrons. 
Therefore, once this work is done, utilizing both of SHG calculation[3][4] and LPDOS method can benefit to the scientists and engeneers to find more new, useful nonlinear materials.

On the other hand, my second work is rotating Atomic Orbitals (AO) with Wigner-D matrix or Wigner-D functions in Bonding Density Analysis (BD) which is a method that can classify the Kohn-Sham electron density with different bond types such as σ bonding, π bonding, δ bonding, φ bonding, and also the anti-bonding of each of them based on Mulliken population [5].  
This new rotation method is necessary because of the directionality of covalent bonding.In molecules or solids, it exist a particular natural bonding direction (bonding axis) that the AO must be rotated along this direction in mathematics for the combination of each two atoms.

At last, the conclusion is that improving and implementing these works (BD and LPDOS methods) may facilitate the resolution of the study of electronic structures in the future.
[1]Z.H. Lin, X.X. Jiang ,L. Kang , P. Gong, S. Luo ,M.H. Lee. (2014). J. Phys. D: Appl. Phys, Vol.47, No.25 
[2] Chun-Hung Lo. (2005). Master's thesis. New Taipei City: Tamkang University, Department of Physics.
[3] R.N.Rashkeev, W.R.L. Lamberrecht, B. Segall. (1998). PRB, Vol.57, No.7, p3905-3919
[4] M.H.Lee, C.H. Yang, and J.H. Jan, (2004). PRB, Vol.70, 235110
[5] R. S.Mulliken. (1955). J.ChemPhys. Vol.23, No.10, p1833-1840.

第一章：分析鍵結電子的方法	1
1-1前言	1
1-2第一原理計算工具簡介	3
(i)Hohenberg-Kohn定理	4
(ii)Kohn-Sham方程式	4
(iii)贋勢	5
(iv)平面波基底	6
1-3 分子軌域與原子軌域基底	8
1-4鍵結密度分析法	10
第二章：原子軌道的轉動	12
2-1古典力學中向量的轉動	12
2-2波函數的轉動	14
2-3 Euler旋轉	15
2-4 Wigner-D矩陣	18
2-5實作原子軌域的轉動	21
第三章：二倍頻與孤立電子分析法	25
3-1線性光學計算	25
3-2非線性光學簡介	26
3-3二倍頻係數計算方法	28
3-4孤立電子分析方法	29
3-5從孤立電子「權重到態密度」初探	32
第四章：孤立電子分析方法的改進	34
4-1「歸一化」孤立電子態密度的不同作法	34
4-2總孤立電子態密度的問題與因應	39
4-3強迫歸一法原子領域權重法的引入	45
4-4孤立電子的預測	53
 
第五章：孤立電子對二倍頻係數的貢獻	63
5-1孤立電子之二倍頻貢獻度	63
5-2源自於孤立電子的能階貢獻	64
第六章：總結	70
附錄A	71
A1.倍頻材料的計算參數	71
A2.倍頻材料計算數據	72
A3.倍頻材料計算作圖	73
附錄B	77
B1.Cubic set of Spherical harmonic	77
B2.CSH與RSH基底轉換矩陣M_matrix	78
B4.Wigner R matrix	80
附錄C	82
C1.高斯模糊化	82
C2.數值轉動	83
參考資料：	85

圖目錄
第一章：分析鍵結電子的方法                                                                                                 1 
1-2第一原理計算工具簡介                                                                                                   3 
圖1-2-1 波函數與贋化波函數，位勢與贋勢示意圖。                                                  5 
1-3 分子軌域與原子軌域基底                                                                                              8 
圖1-3-1 s軌道鍵結波函數示意圖                                                                                    8 
圖1-3-2 s軌道反鍵結波函數示意圖                                                                                8 
第二章：原子軌道的轉動                                                                                                       12 
2-3 Euler旋轉                                                                                                                       15 
圖2-3-1 Euler旋轉示意圖                                                                                               15 
圖2-3-2 新舊座標示意圖1                                                                                            16 
圖2-3-3新舊座標示意圖2                                                                                             16 
2-5實作原子軌域的轉動                                                                                                     21 
圖2-5-1 水分子px軌道Wigner轉動與數值轉動比較圖                                             22 
圖2-5-2水分子py軌道Wigner轉動與數值轉動比較圖                                              22 
圖2-5-3水分子pz軌道Wigner轉動與數值轉動比較圖                                              22 
圖2-5-4 奈米碳管px軌道Wigner轉動圖                                                                     23 
圖2-5-5奈米碳管px軌道數值轉動圖                                                                            23 
圖2-5-6石墨烯σ鍵Wigner轉動與數值轉動比較圖                                                    24 
圖2-5-7石墨烯σ∗鍵Wigner轉動與數值轉動比較圖                                                   24 
圖2-5-8石墨烯π鍵Wigner轉動與數值轉動比較圖                                                    24 
圖2-5-9石墨烯的π∗鍵Wigner轉動與數值轉動比較圖                                               24 
第三章：二倍頻與孤立電子分析法                                                                                       25 
3-4孤立電子分析方法                                                                                                         29 
圖3-4-1 NH3孤立電子雲分布                                                                                         30 
圖3-4-2 H2O孤立電子雲分布                                                                                        30
圖3-4-3 調整後的Error function                                                                                    31 
3-5從孤立電子「權重到態密度」初探                                                                             32 
圖3-5-1 H2O的孤立電子權重圖                                                                                    32 
圖3-5-2 H2O的孤立電子態密度                                                                                    32 
第四章：孤立電子分析方法的改進                                                                                       34 
4-1「歸一化」孤立電子態密度的不同作法                                                                      34 
圖4-1-1 歸一化後H2O的孤立電子態密度                                                                  34 
圖4-1-2 歸一化後H2O的孤立電子態密度                                                                  34 
圖4-1-3 SiO2晶胞中所有氧貢獻的孤立電子權重、未「歸一化」孤立電子態密度、「歸一化」孤立電子態密度                                                                                           36 
圖4-1-4 BBO晶胞中所有氧貢獻的孤立電子權重、未「歸一化」孤立電子態密度、「歸一化」孤立電子態密度                                                                                           36 
圖4-1-5 LBO晶胞中所有氧貢獻的孤立電子權重、未「歸一化」孤立電子態密度、「歸一化」孤立電子態密度                                                                                           37 
圖4-1-6 CBO晶胞中所有氧貢獻的孤立電子權重、未「歸一化」孤立電子態密度、「歸一化」孤立電子態密度                                                                                           37 
圖4-1-7 CLBO晶胞中所有氧貢獻的孤立電子權重、未「歸一化」孤立電子態密度、「歸一化」孤立電子態密度                                                                                           38 
圖4-1-8 SrBe3O4晶胞中所有氧貢獻的孤立電子權重、未「歸一化」孤立電子態密度、「歸一化」孤立電子態密度                                                                                           38 
4-2總孤立電子態密度的問題與因應                                                                                 39 
圖4-2-1 H2O氧貢獻的孤立電子權重、未「歸一化」孤立電子態密度。                 39 
圖4-2-2四個H2O所有氧貢獻的孤立電子權重、未「歸一化」孤立電子態密度。                                                                                                                                           39 
圖4-2-3四個H2O其中一個H2O的氧貢獻的孤立電子權重、未「歸一化」孤立電子態密度。                                                                                                                           39 
圖4-2-4 LPDOS與LPW關係圖1                                                                                 40 
圖4-2-5 LPDOS與LPW關係圖2                                                                                 40 
圖4-2-6 H2O氧貢獻的「歸一化」孤立電子態密度                                                     40
圖4-2-7四個H2O其中一個H2O的氧貢獻的「歸一化」孤立電子態密度               40 
圖4-2-8四個水分子中所有氧的(a)孤立電子權重(b)未「歸一化」孤立電子態密度 
(c)未「歸一化」孤立電子態密度【s=1/8】(d)「歸一化」孤立電子態密度【s=1/8】。                                                                                                                                           42 
圖4-2-9 SiO2中所有氧的(a)孤立電子權重(b)未「歸一化」孤立電子態密度(c)未「歸一化」孤立電子態密度【s=1/8】(d)「歸一化」孤立電子態密度【s=1/8】。         42 
圖4-2-10 BBO中所有氧的(a)孤立電子權重(b)未「歸一化」孤立電子態密度 (c)未「歸一化」孤立電子態密度【s=1/8】(d)「歸一化」孤立電子態密度【s=1/8】。 43 
圖4-2-11 LBO中所有氧的(a)孤立電子權重(b)未「歸一化」孤立電子態密度(c)未「歸一化」孤立電子態密度【s=1/8】(d)「歸一化」孤立電子態密度【s=1/8】。         43 
圖4-2-12 CBO中所有氧的(a)孤立電子權重(b)未「歸一化」孤立電子態密度(c)未「歸一化」孤立電子態密度【s=1/8】(d)「歸一化」孤立電子態密度【s=1/8】。         44 
圖4-2-13 CLBO中所有氧的(a)孤立電子權重(b)未「歸一化」孤立電子態密度(c)未「歸一化」孤立電子態密度【s=1/8】(d)「歸一化」孤立電子態密度【s=1/8】。 44 
4-3強迫歸一法原子領域權重法的引入                                                                             45 
圖4-3-1四個水分子中所有氧的(a)孤立電子權重(b)與使用了原子領域權重法、強迫歸一法的未「歸一化」孤立電子態密度                                                                       47 
圖4-3-2 SiO2中所有氧的(a)孤立電子權重(b)與使用了原子領域權重法、強迫歸一法的未「歸一化」孤立電子態密度                                                                                   47 
圖4-3-3 BBO中所有氧的(a)孤立電子權重(b)與使用了原子領域權重法、強迫歸一法的未「歸一化」孤立電子態密度                                                                                   47 
圖4-3-4 LBO中所有氧的(a)孤立電子權重(b)與使用了原子領域權重法、強迫歸一法的未「歸一化」孤立電子態密度                                                                                   47 
圖4-3-5 CBO中所有氧的(a)孤立電子權重(b)與使用了原子領域權重法、強迫歸一法的未「歸一化」孤立電子態密度                                                                                   48 
圖4-3-6 CLBO中所有氧的(a)孤立電子權重(b)與使用了原子領域權重法、強迫歸一法的未「歸一化」孤立電子態密度                                                                               48 
圖4-3-7 KBBF中所有氧的(a)孤立電子權重(b)與使用了原子領域權重法、強迫歸一法的未「歸一化」孤立電子態密度                                                                               48
圖4-3-8 KBBF中所有氟的(a)孤立電子權重(b)與使用了原子領域權重法、強迫歸一法的未「歸一化」孤立電子態密度                                                                               48 
圖4-3-9，使用了原子領域權重法、強迫歸一法判定後，四顆水分子的氧的孤立電子密度分布圖                                                                                                                   49 
圖4-3-10，使用了原子領域權重法、強迫歸一法判定後，SiO2的氧的孤立電子密度分布圖                                                                                                                               49 
圖4-3-11，使用了原子領域權重法、強迫歸一法判定後，BBO的氧的孤立電子密度分布圖                                                                                                                               50 
圖4-3-12，使用了原子領域權重法、強迫歸一法判定後，LBO的氧的孤立電子密度分布圖                                                                                                                               50 
圖4-3-13，使用了原子領域權重法、強迫歸一法判定後，CBO的氧的孤立電子密度分布圖                                                                                                                               51 
圖4-3-14，使用了原子領域權重法、強迫歸一法判定後，CLBO的氧的孤立電子密度分布圖                                                                                                                           51 
圖4-3-15， 使用了原子領域權重法、強迫歸一法判定後，KBBF的氧的孤立電子密度分布圖                                                                                                                       52 
圖4-3-15，使用了原子領域權重法、強迫歸一法判定後，KBBF的氟的孤立電子密度分布圖                                                                                                                           52 
4-4孤立電子的預測                                                                                                             53 
圖4-4-1水分子路易士結構                                                                                            53 
圖4-4-2氨分子路易士結構                                                                                            53 
圖4-4-3由上到下分別是(a)HCl分子的PDOS、(b) HF分子的PDOS、(c) H2O分子的PDOS、(d)NH3分子的PDOS                                                                                   55 
圖4-4-4 HCl分子的PDOS及電子雲                                                                             55 
圖4-4-5 HF分子的PDOS及電子雲                                                                              56 
圖4-4-6 H2O分子的PDOS及電子雲                                                                            56 
圖4-4-7 NH3分子的PDOS及電子雲                                                                             57 
圖4-4-8由上到下分別是(a)F2分子的PDOS、(b) Cl2分子的PDOS、(c) C2分子的PDOS、(d)N2分子的PDOS                                                                                                          57
圖4-4-9 F2分子的PDOS及電子雲                                                                                58 
圖4-4-10 Cl2分子的PDOS及電子雲                                                                             58 
圖4-4-11 Cl2分子的PDOS及電子雲                                                                             59 
圖4-4-12 N2分子的PDOS及電子雲                                                                             59 
圖4-4-13 由上至下分別為HCl分子的(a)孤立電子權重(b)與使用了原子領域權重法、強迫歸一法的未「歸一化」孤立電子態密(c)孤立電子雲                                           60 
圖4-4-14 由上至下分別為HF分子的(a)孤立電子權重(b)與使用了原子領域權重法、強迫歸一法的未「歸一化」孤立電子態密度(c)孤立電子雲1(d)孤立電子雲2        60 
圖4-4-15 由上至下分別為H2O分子的(a)孤立電子權重(b)與使用了原子領域權重法、強迫歸一法的未「歸一化」孤立電子態密度(c)孤立電子雲                                       61 
圖4-4-16 由上至下分別為NH3分子的(a)孤立電子權重(b)與使用了原子領域權重法、強迫歸一法的未「歸一化」孤立電子態密度(c)孤立電子雲                                       61 
圖4-4-17 由上至下分別為HCl分子isovalue(空間中電荷密度等位面)等於(a)0 4、(b)0 6、(c)0 8、(d)2 0、(e)6 0時的電荷密度分布圖                                                    62 
圖4-4-18 由上至下分別為HF分子isovalue(空間中電荷密度等位面)等於(a)0 4、(b)0 6、(c)0 8、(d)2 0、(e)6 0時的電荷密度分布圖                                                    62 
第五章：孤立電子對二倍頻係數的貢獻                                                                               63 
5-2源自於孤立電子的能階貢獻                                                                                         64 
圖5-2-1「χ퐿푃푠푡푎푡푒푠(2)(푉퐸)/χ(2)(푉퐸) 」與「孤立電子的能階偏移量/系統的能隙」作圖                                                                                                                                           65 
圖5-2-2「χ퐿푃푠푡푎푡푒푠(2)(VE)/χ(2)(VE)」與「孤立電子的能階偏移量(eV)」作圖。        65 
圖5-2-3「χ퐿푃푠푡푎푡푒푠(2)(VE)/χ(2)(VE)」與「孤立電子的能階偏移量(eV)/p軌域能帶寬」作圖。                                                                                                                               66 
圖5-2-4「χ퐿푃푠푡푎푡푒푠(2)(VE)/χ(2)(VE) 」與「孤立電子的能階偏移量(eV) /孤立電子能帶寬」作圖。                                                                                                                       66 
圖5-2-5 SiO2之氧的孤立電子貢獻的能階偏移(二倍頻能帶解析)圖                          67 
圖5-2-6 BBO之氧的孤立電子貢獻的能階偏移(二倍頻能帶解析)圖                         67 
圖5-2-7 LBO之氧的孤立電子貢獻的能階偏移(二倍頻能帶解析)圖                         68 
圖5-2-8 CBO之氧的孤立電子貢獻的能階偏移(二倍頻能帶解析)圖                         68
圖5-2-9 CLBO之氧的孤立電子貢獻的能階偏移(二倍頻能帶解析)圖                      69 
圖5-2-10 KBBF之氧的孤立電子貢獻的能階偏移(二倍頻能帶解析)圖                     69 
附錄A                                                                                                                                       71 
A3 倍頻材料計算作圖                                                                                                         73 
分別為[圖A3-1]α- SiO2、[圖A3-2] β-BBO、[圖A3-3]LBO、[圖A3-4]CBO、[圖A3-5]CLBO、[圖A3-6] KBBF的(a)VE能帶解析圖、(b)VH能帶解析圖、(c)DOS、(d)PDOS、(e)LPweight、(f)LPDOS。                                                                            74 
[圖A3-7] alpha-SiO2的(a)Virtual hole process 的倍頻係數密度分布(b)Virtual electron process的倍頻係數密度分布(c)氧的Lone pair密度分布。                           74 
[圖A3-8] BBO的(a)Virtual hole process 的倍頻係數密度分布(b)Virtual electron process的倍頻係數密度分布(c)氧的Lone pair密度分布。                                        75 
[圖A3-9] LBO的(a)Virtual hole process 的倍頻係數密度分布(b)Virtual electron process的倍頻係數密度分布(c)氧的Lone pair密度分布。                                        75 
[圖A3-10] CBO的(a)Virtual hole process 的倍頻係數密度分布(b)Virtual electron process的倍頻係數密度分布(c)氧的Lone pair密度分布。                                        75 
[圖A3-11] CBO的(a)Virtual hole process 的倍頻係數密度分布(b)Virtual electron process的倍頻係數密度分布(c)氧的Lone pair密度分布。                                        76 
[圖A3-12] KBBF的(a)Virtual hole 過程的倍頻係數密度分布(b)Virtual electron過程的倍頻係數密度分布(c)氧的Lone pair密度分布。                                                     76 
附錄C                                                                                                                                       82 
C1 高斯模糊化                                                                                                                     82 
圖C1-1 高斯模糊化示意圖                                                                                            82 
C2 數值轉動                                                                                                                         83 
圖C2-1座標平移示意圖                                                                                                 83 
圖C2-2建構球諧函數示意圖                                                                                         83 
圖C2-3二維座標與數值點示意圖1                                                                              84 
圖C2-4二維座標與數值點示意圖2                                                                              84 
圖C2-5二維座標與數值點示意圖3                                                                              84

表目錄
第五章：孤立電子對二倍頻係數的貢獻                                                                               63 
5-1孤立電子之二倍頻貢獻度                                                                                             63 
[表5-1-1]孤立電子貢獻VE二倍頻係數除以總VE二倍頻係數                                63 
5-2源自於孤立電子的能階貢獻                                                                                         64 
[表5-2-1]各個材料的p軌道能帶寬度                                                                           64 
[表5-2-2]各個材料的孤立電子態能帶寬度                                                                   64 
附錄A                                                                                                                                       71 
A2 倍頻材料計算數據                                                                                                         72 
[表A2-1]倍頻係數計算結果                                                                                           72 
[表A2-2]倍頻係數三階張量與簡化後倍頻系數矩陣的底標關係                               72 
[表A2-3] 簡化後倍頻系數矩陣的矩陣元關係                                                             72

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