本研究考慮一Bernoulli-Euler Beam之彈性樑，此彈性樑以鋼纜懸掛之，而鋼纜則以非線性彈簧與線性阻尼的組成來模擬其運動。在本研究中，彈性樑的一端為鉸接邊界支撐，另一端則掛載時變之動態減振器 (Time-Dependent Boundary Dynamic Vibration Absorber (DVA) ) 以分析該DVA對於樑之減振效果。有別於一般的振動問題之邊界設定，本研究之自由端點 (Free End) 因掛載一DVA，而為具有時間變化之邊界條件，因此吾人採用 Mindlin-Goodman 法分析此問題，並藉由多項式移位函數 (Shifting Polynomial Function) 將非齊次性邊界條件轉換為齊次性邊界條件。 此外，本文使用多尺度法 (Method of Multiple Scales (MOMS) ) 解析此非線性系統，發現系統中第一模態及第二模態存在一對三 (1：3) 的內共振情形，吾人並繪製系統於穩態固定點 (Fixed Points) 的情況下，各模態的頻率響應圖，以觀察其非線性內共振現象，並以數值模擬其時間域之振動情形，相互驗證之。此外，本研究將分析DVA的質量及彈簧係數對於整個系統之減振的影響，並提出最佳的質量與彈簧係數組合，可使系統達到最佳減振效果。最後，吾人以一簡單的空氣動力函數模擬氣流對於本彈性樑系統之阻尼的影響，藉由改變風速的大小，利用Floquet Theory搭配Floquet Multipliers (F.M.) 判定法則來分析此系統之穩定性，吾人並以各種起始擾動及各種風速影響之下的Basin of Attraction圖形，觀察此系統之端點減振器在不同質量及彈性係數組合時，對於本系統穩定性的成效，以獲得最後結論。

This study investigated the performance of a mass-spring dynamic vibration absorber (DVA) at the free end of a hinged-free elastic beam under simple harmonic excitation. This beam system was suspended by suspension cables. These cables were simulated by cubic nonlinear springs to examine the nonlinear characteristics of this system. The combination of mass and spring constant of the tip-attached dynamic vibration absorber (DVA) were investigated. This time-dependent non-homogeneous boundary condition problem was solved by Mindlin-Goodman method. By using the shifting polynomial function, one can transform this system to a homogeneous boundary problem. The method of multiple scales (MOMS) was performed to solve the nonlinear equations. The 1:3 internal resonance was found at the 1st and 2nd modes of this beam system. The fixed point plots were obtained and compared with the numerical results to verify the system internal resonance. The Poincare Map was also utilized to identify the system instability frequency region of the jump phenomenon. The parameters of the tip attached DVA were studied. The internal resonance can be avoid for the existence of the DVA. The optimal DVA mass and the spring constant were provided for best beam vibration reduction. Finally, the wind speeds and aerodynamic loads were included to investigate the stability of this system. The system stability was analyzed by Floquet theory and Floquet multipliers. The basin of attraction charts were made to verify the effects of the combinations of DVA’s mass and the spring constant at diverge speed.

目錄
摘要………………………………………………………………………I
英文摘要………………………………………………………………II
目錄……………………………………………………………………III
表目錄…………………………………………………………………V
圖表目錄………………………………………………………………VI
第一章 緒論……………………………………………………………1
       一、1 研究動機…………………………………………………1
       一、2 文獻回顧………………………………………………2
       一、3 研究方法…………………………………………………6
第二章 系統理論模式之建立…………………………………………8
       二、1 非線性運動方程式之推導………………………………8
       二、2 無因次之非線性運動方程式……………………………9
       二、3 非線性運動方程式之解析……………………………10
       二、4 時間域的動力方程式…………………………………16
第三章 無減振器系統的理論模式之建立與分析……………………20
       三、1 非線性運動方程式之推導與無因次化………………20
       三、2 系統內共振之條件……………………………………21
       三、3 系統之頻率響應解分析………………………………27
第四章 具有減振器振動系統模式之分析……………………………33
       四、1 減振系統內共振之分析………………………………33
       四、2 減振系統之頻率響應分析……………………………36
第五章 系統之穩定性分析……………………………………………42
第六章 結果與討論……………………………………………………45
第七章 結論……………………………………………………………52
參考文獻………………………………………………………………54
附錄 (一) ………………………………………………………………57
附錄 (二) ………………………………………………………………58
附錄 (三) ………………………………………………………………59
附錄 (四) ………………………………………………………………60
附錄 (五) ………………………………………………………………61
附錄 (六) ………………………………………………………………62
論文簡要版……………………………………………………………103
 
表目錄
表1. k^/EI=0.1時，減振器質量對於系統振幅之影響………………63
表2. k^/EI=0.05時，減振器質量對於系統振幅之影響………………64
表3. k^/EI=0.005時，減振器質量對於系統振幅之影響……………65

 
圖目錄
圖1 具減振器之主體架構與邊界條件………………………………66
圖2 無減振器之主體架構與邊界條件………………………………66
圖3 激擾第一模態之第一模態Fixed Points圖 (無減振器) ………67
圖4 激擾第一模態之第二模態Fixed Points圖 (無減振器) ………67
圖5 激擾第一模態之Fixed Points圖 (無減振器) …………………68
圖6 激擾第二模態之第二模態Fixed Points圖 (無減振器) ………68
圖7 激擾第二模態之第一模態Fixed Points圖 (無減振器) ………69
圖8 激擾第二模態之Fixed Point圖 (無減振器) ……………………69
圖9 sig=-5時，激擾第一模態之時間域及Poincare Map驗證圖…70
圖10 sig=-5時，激擾第二模態之時間域及Poincare Map驗證圖…70
圖11 sig=0時，激擾第一模態之時間域及Poincare Map驗證圖…71
圖12 sig=0時，激擾第二模態之時間域及Poincare Map驗證圖…71
圖13 sig=1.5時，激擾第一模態之時間域及Poincare Map驗證圖…72
圖14 sig=1.5時，激擾第二模態之時間域及Poincare Map驗證圖…72
圖15 k^/EI=0.1時，Ctn與減振器質量m^的關係圖…………………73
圖16 k^/EI=0.05時， Ctn與減振器質量m^的關係圖 ………………73
圖17 k^/EI=0.005時，Ctn與減振器質量m^的關係圖………………74
圖18 k^/EI=0.1、m^=0.003542633時，激擾第一模態之Fixed Points 
      圖及其時間域、Poincare Map驗證圖…………………………74
圖19 k^/EI=0.1、m^=0.003542633時，激擾第二模態之Fixed Points
      圖及其時間域、Poincare Map驗證圖…………………………75
圖20 k^/EI=0.1、m^=0.003542634時，激擾第一模態之Fixed Points 
      圖及其時間域、Poincare Map驗證圖…………………………75
圖21 k^/EI=0.1、m^=0.003542634時，激擾第一模態之Fixed Points 
      圖及其時間域、Poincare Map驗證圖…………………………76
圖22 k^/EI=0.1、m^=0.0003936259時，激擾第一模態之Fixed Points 
      圖及其時間域、Poincare Map驗證圖…………………………76
圖23 k^/EI=0.1、m^=0.0003936259時，激擾第一模態之Fixed Points 
      圖及其時間域、Poincare Map驗證圖…………………………77
圖24 k^/EI=0.1、m^=0.0005時，激擾第一模態之Fixed Points圖及
      其時間域、Poincare Map驗證圖……………………………77
圖25 k^/EI=0.1、m^=0.0005時，激擾第二模態之Fixed Points圖及
      其時間域、Poincare Map驗證圖……………………………78
圖26 k^/EI=0.05、m^=0.0017713164時，激擾第一模態之Fixed Points
      圖及其時間域、Poincare Map驗證圖…………………………78

圖27 k^/EI=0.05、m^=0.0017713164時，激擾第二模態之Fixed Points
      圖及其時間域、Poincare Map驗證圖…………………………79
圖28 k^/EI=0.05、m^=0.001771317時，激擾第一模態之Fixed Points
      圖及其時間域、Poincare Map驗證圖…………………………79
圖29 k^/EI=0.05、m^=0.001771317時，激擾第二模態之Fixed Points
      圖及其時間域、Poincare Map驗證圖…………………………80
圖30 k^/EI=0.05、m^=0.0001968129時，激擾第一模態之Fixed Points
      圖及其時間域、Poincare Map驗證圖…………………………80
圖31 k^/EI=0.05、m^=0.0001968129時，激擾第二模態之Fixed Points
      圖及其時間域、Poincare Map驗證圖…………………………81
圖32 k^/EI=0.05、m^=0.0005時，激擾第一模態之Fixed Points圖
      及其時間域、Poincare Map驗證圖…………………………81
圖33 k^/EI=0.05、m^=0.0005時，激擾第二模態之Fixed Points圖
      及其時間域、Poincare Map驗證圖…………………………82
圖34 k^/EI=0.005、m^=0.00017713164時，激擾第一模態之Fixed
      Points圖及其時間域、Poincare Map驗證圖…………………82
圖35 k^/EI=0.005、m^=0.00017713164時，激擾第二模態之Fixed 
      Points圖及其時間域、Poincare Map驗證圖…………………83
圖36 k^/EI=0.005、m^=0.0001771317時，激擾第一模態之Fixed Points
      圖及其時間域、Poincare Map驗證圖………………………83
圖37 k^/EI=0.005、m^=0.0001771317時，激擾第二模態之Fixed Points
      圖及其時間域、Poincare Map驗證圖………………………84
圖38 k^/EI=0.005、m^=0.000019681294時，激擾第一模態之Fixed 
      Points圖及其時間域、Poincare Map驗證圖…………………84
圖39 k^/EI=0.005、m^=0.000019681294時，激擾第二模態之Fixed 
      Points圖及其時間域、Poincare Map驗證圖…………………85
圖40 k^/EI=0.005、m^=0.00005時，激擾第一模態之Fixed Points圖
      及其時間域、Poincare Map驗證圖………………………85
圖41 k^/EI=0.005、m^=0.00005時，激擾第二模態之Fixed Points圖
      及其時間域、Poincare Map驗證圖…………………………86
圖42 a^1U=0.0001，k^/EI=0.1，m^=0.003542633之Basin of
      Attraction………………………………………………………86
圖43 a^1U=0.0001，k^/EI=0.1，m^=0.0003936259之Basin of
      Attraction………………………………………………………87
圖44 a^1U=0.0001，k^/EI=0.05，m^=0.0017713164之Basin of
      Attraction………………………………………………………87
圖45 a^1U=0.0001，k^/EI=0.05，m^=0.0001968129之Basin of
      Attraction………………………………………………………88
圖46 a^1U=0.0001，k^/EI=0.005，m^=0.00017713164之Basin of
      Attraction………………………………………………………88
圖47 a^1U=0.0001，k^/EI=0.005，m^=0.000019681294之Basin of
      Attraction………………………………………………………89
圖48 a^1U=0.019，k^/EI=0.1，m^=0.003542633之Basin of
      Attraction………………………………………………………89
圖49 a^1U=0.019，k^/EI=0.1，m^=0.0003936259之Basin of
      Attraction………………………………………………………90
圖50 a^1U=0.019，k^/EI=0.05，m^=0.0017713164之Basin of
      Attraction………………………………………………………90
圖51 a^1U=0.019，k^/EI=0.05，m^=0.0001968129之Basin of
      Attraction………………………………………………………91
圖52 a^1U=0.019，k^/EI=0.005，m^=0.00017713164之Basin of
      Attraction………………………………………………………91
圖53 a^1U=0.019，k^/EI=0.005，m^=0.000019681294之Basin of
      Attraction………………………………………………………92
圖54 a^1U=0.02，k^/EI=0.1，m^=0.003542633之Basin of
      Attraction………………………………………………………92
圖55 a^1U=0.02，k^/EI=0.1，m^=0.0003936259之Basin of
      Attraction………………………………………………………93

圖56 a^1U=0.02，k^/EI=0.05，m^=0.0017713164之Basin of
      Attraction………………………………………………………93
圖57 a^1U=0.02，k^/EI=0.05，m^=0.0001968129之Basin of
      Attraction………………………………………………………94
圖58 a^1U=0.02，k^/EI=0.005，m^=0.00017713164之Basin of
      Attraction………………………………………………………94
圖59 a^1U=0.02，k^/EI=0.005，m^=0.000019681294之Basin of
      Attraction………………………………………………………95
圖60 a^1U=0.021，k^/EI=0.1，m^=0.003542633之Basin of
      Attraction………………………………………………………95
圖61 a^1U=0.021，k^/EI=0.1，m^=0.0003936259之Basin of
      Attraction………………………………………………………96
圖62 a^1U=0.021，k^/EI=0.05，m^=0.0017713164之Basin of
      Attraction………………………………………………………96
圖63 a^1U=0.021，k^/EI=0.05，m^=0.0001968129之Basin of
      Attraction………………………………………………………97
圖64 a^1U=0.021，k^/EI=0.005，m^=0.00017713164之Basin of
      Attraction………………………………………………………97
圖65 a^1U=0.021，k^/EI=0.005，m^=0.000019681294之Basin of
      Attraction………………………………………………………98
圖66 a^1U=0.0001，k^/EI=0.1，m^=0.0003936259之Basin of Attraction
      及其穩定區域之時間域、Poincare Map驗證圖……………98
圖67 a^1U=0.0001，k^/EI=0.1，m^=0.0003936259之Basin of Attraction
      及其不穩定區域之時間域、Poincare Map驗證圖…………99
圖68 a^1U=0.019，k^/EI=0.005，m^=0.000019681294之Basin of
      Attraction及其穩定區域之時間域、Poincare Map驗證圖……99
圖69 a^1U=0.019，k^/EI=0.005，m^=0.000019681294之Basin of
      Attraction及其不穩定區域之時間域、Poincare Map驗證圖
      …………………………………………………………………100
圖70 a^1U=0.02，k^/EI=0.1，m^=0.0003936259之Basin of Attraction
      及其穩定區域之時間域、Poincare Map驗證圖……………100.
圖71 a^1U=0.02，k^/EI=0.1，m^=0.0003936259之Basin of Attraction
      及其不穩定區域之時間域、Poincare Map驗證圖…………101
圖72 a^1U=0.021，k^/EI=0.1，m^=0.003542633之Basin of Attraction
      及其穩定區域之時間域、Poincare Map驗證圖……………101
圖73 a^1U=0.021，k^/EI=0.1，m^=0.003542633之Basin of Attraction
      及其不穩定區域之時間域、Poincare Map驗證圖…………102
圖74 a^1U=0.021，k^/EI=0.1，m^=0.0003936259之Basin of Attraction
      及其不穩定區域之時間域、Poincare Map驗證圖…………102

[1]	Nayfeh, A. H., and Mook, Dean T., Introduction to Perturbation Techniques, Wiley-Interscience, New York, 1981, pp.107-131.
[2]	Nayfeh, A. H., and Balachandran, B., Applied Nonlinear Dynamics, Wiley-Interscience, New York, 1995, pp.158-172.
[3]	Malatkar, P., Nonlinear Vibrations of Cantilever Beams and Plates, Ph.D. Thesis, Virginia Polytechnic Institute and State University, 2003.
[4]	Sedighi, H. M., Reza, A., and Zare, J., “Study on the Frequency-Amplitude Relation of Beam Vibration,” International Journal of the Physical Sciences, Vol.6, 2011, pp.8051-8056.
[5]	Rossikhin, Y. A., and Shitikova, M.V., “Analysis of Nonlinear Free Vibrations of Suspension Bridges,” Journal of Sound and Vibration, Vol.186, No.3, 1995, pp.369-393.
[6]	Palmeri, A., and Adhikari, S., “A Galerkin-type State-space Approach for Transverse Vibrations of Slender Double-beam Systems with Viscoelastic Inner Layer,” Journal of Sound and Vibration, Vol.330, 2011, pp.6372-6386.
[7]	Samani, Farhad S., and Pellicano, F., “Vibration Reduction of Beams Under Successive Traveling Loads By Means of Linear and Nonlinear Dynamic Absorbers,” Journal of Sound and Vibration, Vol.331, 2012, pp.2272-2290.
[8]	Eftekhari, M., Ziaei-Rad, S., and Mahzoon, M., “Vibration Suppression of A Symmetrically Cantilever Composite Beam Using Internal Resonance Under Chordwise Base Excitation,” Journal of Non-Linear Mechanice, Vol.48, 2013, pp.86-100.
[9]	Van Horssen, W. T., and Boertjens G. J., “On Mode Interactions for A Weakly Nonlinear Beam Equation,” Nonlinear Dynamic, Vol.17, 1998, pp.23-40.
[10]	Van Horssen, W. T., and Boertjens G. J., “An Asymptotic Theory for A Weakly Nonlinear Beam Equation with A Quadratic Perturbation,” SIAM Journal on Applied Mathematics, Vol. 60, 2000, pp.602-632.
[11]	Vakakis, A. F., and Paipetis, S. A., “The Effect of A Viscously Damped Dynamic Absorbers On A Linear Multi-Degree of-Freedom System,” Journal of Souned and Vibration, Vol.105, 1986, pp.49-60.
[12]	Hijmissen, J. W., and Van Horssen, W. T., “On Aspects of Damping for A Vertical Beam with A Tuned Mass Damping at the Top,” Springer Netherlands, Nonlinear Dynamic, Vol.50, 2007, pp.169-190.
[13]	Zou, L., and Nayfeh, S. A., “Minimax Optimization of Multi-Degree-of-Freedom Tuned-Mass Dampers,” Journal of Souned and Vibration, Vol.272, 2004, pp.893-908.
[14]	Wang, Y. R., and Li, H. S., “Stability Analysis and Vibration Reduction for A Two-Dimensional Nonlinear System,” International Journal of Structural Stability and Dynamics, Vol.13, No.5, 2013.
[15]	Cai, C. S., Wu, W. J., and Shi, X. M., “Cable Vibration Reduction with A Hung-on TMD System. Part I: Theoretical Study,” Journal of Vibration and Control, Vo.12, No.7, 2006, pp.801-814.

[16]	Wu, W. J., and Cai, C. S., “Cable Vibration Reduction with a Hung-on TMD System. Part II: Parametric Study,” Journal of Vibration and Control, Vo.12, No.8, 2006, pp.881-899.
[17]	Mindlin, R. D., and Goodman, L. E., “Beam Vibration with Time-Dependent Boundary Conditions,” ASME Journal of Applied Mechanics, Vol.17, 1950, pp.377-380.
[18]	Lee, S. Y., and Lin, S. M., “Dynamic Analysis of Nonuniform Beams With Time-Dependent Elastic Boundary Conditions,” ASME Journal of Applied Mechanics, Vol.63, 1996, pp.474-478.
[19]	黃志誠， 邊界會隨時間變化的非均勻Timoshenko樑的振動分析，國立成功大學機械工程學系碩士班碩士論文，中華民國八十七年六月。
[20]	Fu, Y. M., Hong, J. W., and Wang, X. Q., “Analysis of Nonlinear Vibration for Embedded Carbon Nano Tubes,” Journal of Sound and Vibration, Vol.296, 2006, pp.746-756.