本文主要將淡江大學航空太空工程學系航電與系統模擬實驗室所研發姿態量測系統中改使用羅德里格參數作為狀態並達到姿態即時運算。論文包括1)姿態描述方法分析、2)結合非線性卡曼濾波器算法及3)實際飛行數據驗證分析三大部分。
第一部分主要將羅德里格參數法與修正型羅德里格參數法，從物理意義上與尤拉角法、方向餘弦法及四元數法做比較，並用姿態量測組件在地面實驗平台所測試的數據，比較分析四元數法、羅德里格參數及修改型羅德里格參數。
第二部分將羅德里格參數及修正行羅德里格參數與擴展式卡濾波器及無跡卡曼濾波器結合應用於姿態演算法。
第三部分將實際飛行實驗中所收集的飛行測試數據，分別用兩種羅德里格方法與四元數法作為演算法核心，並使用MatlabR 進行地面離線姿態估算，相互比較計算精確度及計算效率，成功驗證了羅德里格參數法在計算效率上的優越性，最後將程式轉換為適用於嵌入式系統的C++語言，交互比照並探討MatlabR與C++之間的結果。

In this study, the nonlinear Kalman filter attitude algorithm using Rodrigues parameters as the system states to achieve the best computational efficiency for real-time attitude computing. The study is divided into three parts: (1) analysis the methods of attitude representations: Rodrigues parameters method, modified Rodrigues parameters method and Quaternion method. (2) Combine Rodrigues parameters method and modified Rodrigues parameters method with extended Kalman filter, unscented Kalman filter, separately to obtain the attitude algorithms. (3) Use the actual flight data to test the attitude algorithms obtained in (2). The results show that the method of Rodrigues parameters can improve the computational efficiency and upgrade the performance of fly control system.

目錄	iii
圖目錄	vii
表目錄	xi
第一章 緒論	1
1.1 研究背景	1
1.2 文獻回顧	2
1.3 研究方法	4
第二章 姿態描述方法	6
2.1 概論	6
2.2 尤拉角法(Euler Angles)	8
2.3 方向餘弦矩陣法(Direction Cosine Matrix，DCM)	11
2.4 四元數法(Quaternions)	13
2.5 羅德里格參數法(Rodrigues Parameters)	17
2.6 修改型羅德里格參數法(Modified Rodrigues Parameters)	23
2.7 本章小結	31
第三章 計算效率比較	33
3.1 四元數法模擬	34
3.2 羅德里格參數法模擬	37
3.3 修改型羅德里格參數法模擬	41
3.4 結果比較	46
3.4.1 精確度比較	46
3.4.2 計算效率比較	48
第四章 卡曼濾波與姿態計算演算法	50
4.1 卡曼濾波器概論	50
4.1.1 離散卡曼濾波器 	53
4.2 姿態計算演算法介紹	56
4.2.1 航向角計算	57
4.2.2 俯仰角及滾轉角計算	58
4.2.3 透過羅德里格參數及MRP計算姿態角	62
4.2.4 卡曼濾波計算姿態角	62
4.3 卡曼濾波雜訊設定	66
4.3.1 系統雜訊	66
4.3.2 量測雜訊	68
第五章 非線性擴展式卡曼濾波式	74
5.1 結合EKF姿態演算法	76
5.2 實際飛行數據測試	81
5.2.1 爬升(1420~1430秒)	82
5.2.2 下降(2340~2380秒)	85
5.2.3 平飛(2745~2755秒)	88
5.2.4 左轉彎(1106~1130秒)	90
5.2.5 右轉彎(2600~2675秒)	93
5.2.6 S型轉彎(2810~2900秒)	95
5.3 分析結果	98
5.4 程式轉換為C++	99
第六章 非線性無跡卡曼濾波器式	103
6.1 無跡變換	104
6.2 結合UKF姿態演算法	106
6.3 實際飛行數據測試	111
6.3.1 爬升(1420~1430秒)	112
6.3.2 下降(2340~2380秒)	115
6.3.3 平飛(2745~2755秒)	117
6.3.4 左轉彎(1106~1130秒)	120
6.3.5 右轉彎(2600~2675秒)	122
6.3.6 S型轉彎(2810~2900秒)	125
6.4 分析結果	127
第七章 結論	130
參考文獻	132
附錄一	135

圖目錄
圖2.1	剛體轉動&方向餘弦	7
圖2.2	座標系表示	7
圖2.3	3-2-1旋轉順序	9
圖3.1	四軸平台架設圖	33
圖3.2	四元數法流程圖	36
圖3.3	羅德里格參數法流程圖	40
圖3.4	MRP法流程圖	45
圖3.5	三種方法姿態角結果	46
圖3.6	羅德里格參數與四元數誤差	47
圖3.7	MRP與四元數誤差	47
圖3.8	MRP與羅德里格參數誤差	48
圖4.1	狀態估測及其誤差協方差時間關係	54
圖4.2	地球磁場分量[9]	57
圖4.3	重力場分量[9]	59
圖4.4	由旋轉角速度造成的速度變化之分量[9]	60
圖4.5	結合卡曼濾波器計算姿態角流程	66
圖5.1	EKF結合演算法流程圖	81
圖5.2	完整飛行軌跡	82
圖5.3	飛行軌跡-爬升	83
圖5.4	航向角變化-爬升	84
圖5.5	滾轉角變化-爬升	84
圖5.6	俯仰角變化-爬升	85
圖5.7	飛行軌跡-下降	86
圖5.8	航向角變化-下降	86
圖5.9	滾轉角變化-下降	87
圖5.10	俯仰角變化-下降	87
圖5.11	飛行軌跡-平飛	88
圖5.12	航向角變化-平飛	89
圖5.13	滾轉角變化-平飛	89
圖5.14	俯仰角變化-平飛	90
圖5.15	飛行軌跡-左轉彎	91
圖5.16	航向角變化-左轉彎	91
圖5.17	滾轉角變化-左轉彎	92
圖5.18	俯仰角變化-左轉彎	92
圖5.19	飛行軌跡-右轉彎	93
圖5.20	航向角變化-右轉彎	94
圖5.21	滾轉角變化-右轉彎	94
圖5.22	俯仰角變化-右轉彎	95
圖5.23	飛行軌跡-S型轉彎	96
圖5.24	航向角變化-S型轉彎	96
圖5.25	滾轉角變化-S型轉彎	97
圖5.26	俯仰角變化-S型轉彎	97
圖5.27	滾轉角結果比較	100
圖5.28	俯仰角比較	100
圖5.29	航向角比較	101
圖6.1	UKF結合演算法流程圖	111
圖6.2	飛行軌跡-爬升	113
圖6.3	航向角變化-爬升	113
圖6.4	滾轉角變化-爬升	114
圖6.5	俯仰角變化-爬升	114
圖6.6	飛行軌跡-下降	115
圖6.7	航向角變化-下降	116
圖6.8	滾轉角變化-下降	116
圖6.9	俯仰角變化-下降	117
圖6.10	飛行軌跡-平飛	118
圖6.11	航向角變化-平飛	118
圖6.12	滾轉角變化-平飛	119
圖6.13	俯仰角變化-平飛	119
圖6.14	飛行軌跡-左轉彎	120
圖6.15	航向角變化-左轉彎	121
圖6.16	滾轉角變化-左轉彎	121
圖6.17	俯仰角變化-左轉彎	122
圖6.18	飛行軌跡-右轉彎	123
圖6.19	航向角變化-右轉彎	123
圖6.20	滾轉角變化-右轉彎	124
圖6.21	俯仰角變化-右轉彎	124
圖6.22	飛行軌跡-S型轉彎	125
圖6.23	航向角變化- S型轉彎	126
圖6.24	滾轉角變化- S型轉彎	126
圖6.25	俯仰角變化- S型轉彎	127
圖6.26	俯仰角變化(270~3620秒)	128
圖6.27	滾轉角變化(270~3620秒)	128

表目錄
表2.1	MRP與其影子參數奇異關係	31
表3.1	三種方法計算效率比較	49
表5.1	三種方法計算效率(2810~2900秒)	98
表5.2	Matlab與C++執行效率比較(270~3620秒)	99
表5.3	修改型羅德里格參數與尤拉角之間轉換比較表	102
表6.1	四元數&MRP執行時間(270~3620秒)	129
表6.2	四元數&MRP執行時間(2810~2900秒)	129
表7.1	於實驗平台中三種方法計算效率比較(2810~2900秒)	131
表7.2	於EKF中三種方法計算效率比較(2810~2900秒)	131
表7.3	於UKF中四元數&MRP計算效率比較(2810~2900秒)	131

[1]Bar-Itzhack, I. Y., and Markley, F. L. “Minimal parameter solution of the orthogonal matrix differential equation.” NASA TM-4043, NASA, June 1988.
[2]Shuster, M. D., “A Survey of Attitude Representations.” The Journal of the Astronautical Sciences, Vol. 41, No.4, Oct-Dec. 1993, pp. 439-517.
[3]Lefferts E. J., Markly F. L., Shuster M D. “Kalman filter for spacecraft attitude estimation.” Journal of Guidance, Control and Dynamics, 1982; 5(5): 417-429.
[4]Idan M. “Estimation of Rodrigues Parameters From Vector Observations.” IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1996, 32 (2): 578-586. 
[5]H. Schaub, J. L. Junkins, “Stereographic Orientation Parameters for Attitude Dynamics: A Generalization of the Rodrigues Parameters.” J. Astrinaut. Sci. 44 (1) (1996) 1-19.
[6]Akella M. R., “Rigid body attitude tracking without angular velocity feedback.” Paper No. AAS 00-100 of the AAS/AIAA Spaceflight Mechanics meeting, Clearwater, USA, 2000: 3-9.
[7]Crassidis, J. L. and Markley, F. L., “Attitude Estimation Using Modified Rodrigues Parameters.” Proceedings of the Flight Mechanics/Estimation Theory Symposium, (NASA/CP-1996-3333) NASA-Goddard Space Flight Center, Greenbelt, MD, 1996, PP. 71-83.
[8]Karlgaard and H. Schaub, “Nonsingular Attitude Filtering Using Modified Rodrigues Parameters.” Journal of the Astronautical Sciences, Vol. 57, No. 4, 2010. Pp. 777-791.
[9]Der-Ming Ma, Jaw-Kuen Shiau, I-Chiang Wang, and Yu-Heng Lin, “Attitude Determination Using MEMS-Based Flight Information Measurement Unit”  Sensors 2012,Vol. 12, Issue 1, pp.1~23.
[10]王奕強, 非線性卡曼濾波器於飛行姿態計算之研究，淡江大學航太系碩士班碩士論文, 民國100年6月.
[11]Warren F. Phillips, Mechanics of Flight, 2nd edition, John Wiley & Sons, Inc.,2010.
[12]張明宇, 微機電慣性量測組件設計驗證及整合導航運算之研究，淡江大學航太系碩士班碩士論文, 民國99年1月.
[13]Rudolf Emil Kalman, “A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems,” ASME Journal of Basic Engineering, no. 82, pp. 35-45, 1960.
[14]Dan Simon, Optimal State Estimation: Kalman, H-infinity, and Nonlinear Approaches, John Wiley & Sons, 2006.
[15]姚春安, 嵌入式微機電姿態計算系統之設計，淡江大學航太系碩士班碩士論文, 民國101年7月.