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系統識別號 U0002-2406201217501500
中文論文名稱 車多項式
英文論文名稱 Rook polynomials
校院名稱 淡江大學
系所名稱(中) 中等學校教師在職進修數學教學碩士學位班
系所名稱(英) Executive Master's Program In Mathematics for Teachers
學年度 100
學期 2
出版年 101
研究生中文姓名 蔡志榮
研究生英文姓名 Tsai Chih-Jung
學號 799190136
學位類別 碩士
語文別 中文
口試日期 2012-06-14
論文頁數 33頁
口試委員 指導教授-高金美
委員-周兆智
委員-黃文中
中文關鍵字 車多項式  城堡多項式  遞迴關係式 
英文關鍵字 rook polynomials  recurrence relation 
學科別分類
中文摘要 國際象棋中的車可直行與橫行。如果在任意形狀的棋盤上放置數個車,使得這些車不互相攻擊,則每個車必須彼此位在不同行不同列上。車多項式是指將車放置在棋盤上的方法數之生成函數。車多項式可用來解決有限制的排列的問題。因此我們希望能藉由探討一些特殊國際象棋中的車可直行與橫行。如果在任意形狀的棋盤上放置數個車,使得這些車不互相攻擊,則每個車必須彼此位在不同行不同列上。車多項式是一種放置各種不同個數的車的方法數的生成函數。車多項式可用來解決有限制的排列的問題。因此我們希望能藉由探討一些特殊棋盤的車多項式,獲得更快速解決有限制的排列的問題。
在論文中,我們主要推導並證明了四種特殊棋盤的車多項式:
1.m×n棋盤的車多項式。
2.有禁區的車多項式。
3.路徑棋盤的車多項式。
4.迴圈棋盤的車多項式。




英文摘要 In combinatorial mathematics, a rook polynomial is a generating function of the number of ways to place non-attacking rooks on a board that looks like a checker board; that is, no two rooks can be placed in the same row or same column. The term "rook polynomial" was coined by John Riordan. Despite the name's derivation from chess, the impetus for studying rook polynomials is their connection with counting the number of permutations with restricted positions.
In this thesis, we mainly obtain the rook polynomials of four special boards:

1.The rook polynomial of m×n chess board.
2.The rook polynomial with restricted area
3.The rook polynomial of path chess board
4.The rook polynomial of cycle chess board


論文目次 第一章 簡介 1
第二章 預備知識 3
2.1 排列組合 3
2.1.1 排列 3
2.1.2 組合 4
2.2 西洋棋(國際象棋) 4
2.3 車多項式 6
2.4特殊子棋盤 8
2.5 基本定理 9
第三章 主要結果 13
3.1棋盤的車多項式 13
3.2 特殊子棋盤的車多項式 15
3.3有禁區之子棋盤的車多項式 29
參考文獻 33

圖  目  錄
圖(1) 3×3棋盤 7
圖(2) 3×3 棋盤,放置1個車 7
圖(3) 3×3 棋盤,放置2個車 7
圖(4) 3×3 棋盤,放置3個車 7
圖(5) 8×8棋盤 8
圖(6) m×n棋盤 8
圖(7) m×n棋盤,對角線是禁區 8
圖(8) 1×n棋盤 8
圖(9) L(m,n) 8
圖(10) P(2,n) 8
圖(11) C(2,n) 9
圖(12) S'n 9
圖(13) L(1) 9
圖(14) L(2) 9
圖(15) L(2,2) 9
圖(16) L(3,3) 9
圖(17) 〖 T=T〗_1 ⋃▒T_(2 ) 10
圖(18)子棋盤 T 10
圖(19) m×n棋盤 13
圖(20)子棋盤 T 15
圖(21) P(2,n) 16
圖(22)P(2,n)利用定理2.5.2降階 18
圖(23) P(2,1)、P(2,2) 19
圖(24) C(2,n) 19
圖(25) C(2,n) 20
圖(26) C(2,4)、C(2,6) 20
圖(27) P(3,n) 21
圖(28) P(3,3k-2) 21
圖(29) P(3,3k-1) 21
圖(30) P(3,3k) 22
圖(31) P(k,n) 22
圖(32) P(k,mk-(k-1)) 23
圖(33) P(k,mk-(k-2)) 23
圖(34) P(k,mk-(k-3)) 23
圖(35) P(k,mk-(k-4) 23
圖(36) P(k,mk-(k-5) 24
圖(37) S'(n) 25
圖(38) S'(n) 25
圖(39) S'(10) 26
圖(40) P(5,25,3) 27
圖(41) 化簡後其規律性消失 28
圖(42) A(x) 28
圖(43) A(x) 30
圖(44) A(x) 31
圖(45) A(x) 31 

表  目  錄
表(1) S(n,k) 的值 12
表(2) S(n,k)的值 27


參考文獻 [1] Balakrishnan, V. K.,Combinatorics, 1st edition. McGraw-Hill, New York,(1994).
[2]. MacMahon P.A., Combinatory analysis, vols 1 and 2, Cambridge University Press, (1915–16).
[3] Kaplansky, Irving; Riordan, J., "The probleme des menages", Scripta Mathematica 12: 113–124, MR0019074,(1946).
[4] Krzywonos, Nicholas and Alayont, Feryl, "Rook Polynomials In Higher Dimensions",Student Summer Scholars. Paper 29,(2009).
[5] Riordan John,An Introduction to Combinatorial Analysis, Princeton University Press, (1980)
[6] Weisstein, Eric W. "Self-Counting Sequence." From MathWord--A Wolfram Web Resource,http://mathworld.wolfram.com/Self-CountingSequence.html,(2002).
[7] Wikipedia http://zh.wikipedia.org/wiki/西洋棋.
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