我們研究了在有限溫度下具有自發曲率的二維半柔軟生物高分
子的力學性質。我們發現在我們的模型中，當外力超過0.03 時，力跟伸長將成線性關係，即外力將佔主導地位而熵效應較小。因此若要考慮熵效應，在我們的模型中，外力的範圍要小於0.03。我們的結果顯示自發曲率越大，相對伸長的變化也越大。我們還發現由於熱擾動增加，因此溫度越高，需要越大的外力才能把高分子鏈拉直。我們也考慮了排斥體積效應，並與未考慮排斥體積效應的結果做比較。我們發現在外力比較小的時候，考慮排斥體積效應後，高分子鏈的端點距離會比未考慮排斥體積效應來得大，但平均形狀差異不大。另外，溫度升高，亦使端點距離增大。但在我們所考慮的參數範圍內，排斥體積效應對伸長之影響不超過2.5％，對端點距離之影響不超過13％。

We study the elasticity of two-dimensional semiflexible biopolymers with constant spontaneous curvature. We find that the relation between external force and extension becomes linear in our model when the external force is greater than 0.03. In other words, the external force
dominates the elasticity in this case. So if we want to consider the entropy effect, the external force should be smaller than 0.03. Our result shows that the greater the spontaneous curvature, the larger the relative extension. We also find that due to increasing thermal fluctuation, at the higher temperature it requires larger external force to straighten the polymer chain. We also study the effect of excluded volume. We find that the effect of excluded volume tends to enlarge the end-to-end distance
and extension when the external force is small, but it has little effect on the average shape. Moreover, the end-to-end distance also increases with increasing temperature. But within the range of parameter we considered,
the effect of excluded volume is smaller than 2.5% for extension, and smaller than 13% for end-to-end distance.

第一章 緒論...............................................1
1-1 簡介..................................................1
1-2 動機與目的............................................2
第二章 模型和模擬方法.....................................5
2-1 模型..................................................5
2-2 模擬方法—布朗動力學演算法............................7
2-3 約化單位..............................................9
2-4 物理量的計算.........................................11
第三章 程式調試與主要結果................................14
3-1 程式調試.............................................14
3-1-1 調試過程...........................................14
3-1-2 小結...............................................20
3-2 主要結果.............................................21
3-2-1 力小於0.03.........................................28
3-2-2 不同的α0，對桿的伸長之影響.........................30
3-2-3 與未考慮排斥體積效應的結果比較.....................32
3-2-4 與200 顆粒子做比較.................................36
3-2-5 考慮排斥體積效應與未考慮排斥體積效應的形狀做比較...38
3-2-6 考慮排斥體積效應與未考慮排斥體積效應的相對誤差.....41
第四章 結論..............................................43
4-1 主要結論.............................................43
4-2 工作檢討與未來方向...................................44
參考文獻.................................................45
圖表目錄
圖 (2-1) 模型示意圖.......................................6
圖 (2-2) 未受外力與溫度為0 時的穩定形狀...................7
圖 (2-3) 布朗動力學計算主要流程圖.........................8
圖 (3-1) 總能量圖........................................16
圖 (3-2) 在x 方向的位置座標與樣品數......................17
圖 (3-3) 不受外力的平均形狀圖............................18
圖 (3-4) 受到外力後的高分子鏈形狀圖......................19
圖 (3-5) y 方向的端點距離與樣品數........................19
圖 (3-6) 不同的dt .......................................20
圖 (3-7) 在較小外力下x 座標與外力的關係..................21
圖 (3-8) 在較小外力下端點距離與外力的關係................22
圖 (3-9) 在較大外力下x 座標與外力的關係..................22
圖 (3-10) 在較大外力下端點距離與外力的關係...............23
圖 (3-11) 直線擬和外力範圍在0～0.1，外力與相對伸長的關係.23
圖 (3-12) 直線擬和外力範圍在0～0.5，外力與相對伸長的關係.24
圖 (3-13) 直線擬和外力範圍在0～0.5，外力與相對端點距離的關係.24
圖 (3-14) 高溫下，外力與伸長的關係.......................25
圖 (3-15) 高溫下，外力與端點距離的關係...................26
圖 (3-16) 高溫下，在較小外力下伸長與外力的關係...........26
圖 (3-17) 高溫下，在較小外力下端點距離與外力的關係.......27
圖 (3-18) 不同溫度的比較.................................27
圖 (3-19) 不同溫度的相對誤差.............................28
圖 (3-20) 受力範圍改成0～0.03，外力與相對伸長的關係......29
圖 (3-21) 低溫下，不同的α0 ..............................30
圖 (3-22) 高溫下，不同的α0 ..............................31
圖 (3-23) 考慮排斥體積與未考慮排斥體積的最後一顆粒子的y 座標.32
圖 (3-24) 考慮排斥體積與未考慮排斥體積的總能量圖.........33
圖 (3-25) 考慮排斥體積與未考慮排斥體積的平均形狀圖.......34
圖 (3-26) 考慮排斥體積與未考慮排斥體積的伸長與外力的關係.35
圖 (3-27) 考慮排斥體積與未考慮排斥體積的迴轉半徑與外力的關係.35
圖 (3-28) 100 顆粒子與200 顆粒子在高溫的比較.............36
圖 (3-29) 100 顆粒子與200 顆粒子在低溫的比較.............37
圖 (3-30) 低溫下，考慮不受外力單個樣品受到排斥體積效應以及未受到排斥體積效應的形狀.................................38
圖 (3-31) 高溫下，考慮不受外力單個樣品受到排斥體積效應以及未受到排斥體積效應的形狀.................................38
圖 (3-32) 未考慮排斥體積效應下的單個樣品在較低溫度(0.005)受力之後的形狀.............................................39
圖 (3-33) 考慮排斥體積效應下的單個樣品在較低溫度(0.005)受力之後的形狀...............................................39
圖 (3-34) 未考慮排斥體積效應下的單個樣品在較高溫度(0.01)受力之後的形狀.............................................40
圖 (3-35) 考慮排斥體積效應的單個樣品在較高溫度(0.01)受力之後的形狀.................................................40
圖 (3-36) 考慮單個樣品在較低溫度時，有無排斥體積效應下外力與伸長的關係.............................................41
圖 (3-37) 在較低溫度時，有無排斥體積效應的相對誤差.......41
圖 (3-38) 考慮單個樣品在較高溫度時，有無排斥體積效應下外力與伸長的關係.............................................42
圖 (3-39) 在較高溫度時，有無排斥體積效應的相對誤差.......42

[1] O. Kratky and G. Porod, Recl. Trav. Chim. Pays-Bas 68, 1106 (1949).
[2] J.F. Marko and E.D. Siggia, Science 265, 506 (1994).
[3] C. Bustamante, J. F. Marko, E. D. Siggia, and S.Smith, Science 265, 1599 (1994).
[4] J. F. Marko and E. D. Siggia, Macromolecules 28, 8759(1995).
[5] S.B. Smith, L. Finzi, and C. Bustamante, Science 258, 1122 (1992).
[6] T.R. Strick, J. F. Allemand, D. Bensimon, A. Bensimon, and V. Croquette,Science 271, 1835 (1996).
[7] P. Cluzel, A. Lebrun, C. Heller, R. Lavery, J. L. Viovy, D. Chatenay, and F. Caron,Science 271, 792 (1996).
[8] S. B. Smith, Y. Cui, and C. Bustamante, Science 271, 795 (1996).
[9] B. Fain, J. Rudnick, and S. Ä Ostlund, Phys. Rev. E 55, 7364 (1997).
[10] J. F. Marko, Phys. Rev. E 55, 1758 (1997).
[11] J. D. Moroz and P. Nelson, Proc. Natl. Acad. Sci. U. S. A94, 14418 (1997).
[12] A. Goriely and M. Tabor, Proc. R. Soc. London, A 453, 2583 (1997).
[13] H. Zhou and Z.-C. Ou-Yang, J. Chem. Phys 110, 1247(1999).
[14] H. Zhou, Y. Zhang, Z.-C. Ou-Yang, Phys. Rev. E. 62, 1045(2000).
[15] S. V. Panyukov and Y. Rabin, Phys. Rev. E. 64, 011909(2001).
[16] D.A. Kessler and Y. Rabin, Phys. Rev. Lett. 90, 024301(2003)
[17] Z. Zhou, P.-Y. Lai, and B. Joos, Phys. Rev. E. 71, 052801(2005).
[18] E. N. Trifonov, R. K.-Z. Tan, and S. C. Harvey, in DNA bending and curvature,edited by W. K. Olson, M.
H.Sarma, and M. Sundaralingam (Adenine Press,Schenec-tady, 1987).
[19] P. C. Nelson, Phys. Rev. Lett. 80, 5810 (1998).
[20] D. Bensimon, D. Dohmi, and M. Mezard, Europhys. Lett. 42, 97 (1998).
[21] Y. O. Popov and A. V. Tkachenko, Phys. Rev. E. 76, 021901(2007).
[22] S. Rappaport and Y. Rabin, Macromolecules 37, 7847(2004).
[23] Zicong Zhou, Bela Joos, Phys . Rev. E. 77, 061906(2008)
[24] A. Prasad, Y. Hori, and J. Kondev, Phys. Rev. E. 72, 041918(2005).
[25] D. Chaudhuri, Phys. Rev. E. 72, 021803(2007).
[26] Zicong Zhou , Phys. Rev. E. 76, 061916 (2007)
[27] W. Han, S. M. Lindsay, M. Dlakic, and R. E. Harrington, Nature London 386,563 (1997).
[28] W. Han, M. Dlakic, Y.-J. Zhu, S. M. Lindsay, and R. E. Harrington, Proc. Natl.Acad. Sci. U. S. A94, 10565 (1997).
[29] H. R. Drew and A. A. Travers, J. Mol. Biol. 186, 773(1985).
[30] M. Dlakic, K. Park, J. D. Griffith, S. C. Harvey, and R. E. Harrington, J. Biol.46Chem. 271, 17911 (1996).
[31] D. L Ermak - Rapport d’activite Scientifique du CECAM, 1976; D. L. Ermak and H. Buckholtz, J. Comput. Phys. 35, 169 (1980).
[32] M. P. Allen and D. J. Tildesley, Computer Simulation of Liquids, (Oxford University Press, New York, 1987).
[33]物理雙月刊（27卷3期）2005年6月, 456～460
[34]楊元欣，螺旋細長桿和二維半柔軟生物高分子的彈性性質（淡江大學，2008）
[35] Z. Zhou, Kinetics of Vacancy Annealing in Monolayers and Instability in Stressed Materials (University of Ottawa, Ottawa, Ontario, Canada, 1996).
[36] M. P. Allen and D. J. Tildesley, Computer Simulation of Liquids, (1989).