本研究延伸無網格邊界積分方程法來求解薄膜自由振動問題和水平剪力波散射問題，這兩類問題的控制方程式都是二維Helmholtz方程式，其中薄膜特徵值問題包括單連通薄膜和雙連通薄膜，水平剪力波散射問題包括無限平面問題以及半無限平面問題。通過引入在邊界局部點的局部正確解所對應的邊界積分方程式，可以技巧性的計算柯西主值奇異積分，同時也無須計算固體角。為了實現以上兩個優點，局部正確解必須滿足二維Helmholtz方程和兩個邊界值，即原始場量及其法向導數，局部正確解是正弦和餘弦波與相對應邊界物理量的簡單線性組合，且這兩個波函數滿足二維Helmholtz方程式。爲了不採用幾何離散方法來求解邊界積分方程式，本法利用高斯積分法把邊界積分方程式轉換成代數方程式，因此沿著邊界分佈的高斯積分點即為邊界節點，這些邊界節點同時也是獲得聯立方程式的配置點，如此一來，就不需要使用插值函數來描述邊界密度。此外，與傳統邊界元素法比較，本法具有兩個優點，一是收斂速度比傳統邊界元素法快，二是由於誤差只來自使用的高斯積分點的數目，所以本法可視為一個半解析解法。最後，考慮了七個內域問題和四個外域問題來驗證本方法解決滿足二維Helmholtz方程式邊界值問題的有效性。

In this thesis, a meshfree boundary integral equation method is employed to solve problems of membrane free vibration and SH-wave scattering problems. The governing equations of these two problems are the 2D Helmholtz equation. For the membrane eigenproblems, both simply-connected and doubly-connected membranes are considered. For the SH-wave scattering problems not only infinite plane but also semi-infinite plane problems are considered. By introducing the boundary integral in the sense of the Cauchy principal value equation of a local exact solution that the local point is set on the boundary, the singular integral can be exactly determined without using the sense of Cauchy principal value. Simultaneously, it is free to calculate the solid angle. To achieve the above mentioned two advantages, a local exact solution must satisfy the 2D Helmholtz equation and two boundary data which are the original potential and its normal derivative. Then, a local exact solution is just a simple linear combination of sine and cosine waves with corresponding boundary data since those two wave functions satisfy the 2D Helmholtz equation. In order to solve the boundary integral equation without adopting the geometry discretazation, the Gaussian quadrature is employed to transform the boundary integral equation into an algebraic equation. Therefore, the corresponding Gaussian quadrature points on the boundary are the boundary nodes. These boundary nodes are also the collocation points to obtain the simultaneous equations. In this way, these are no needs of using interpolation functions to describe the boundary densities. In addition, the present approach has two advantages compared with the conventional boundary element method (BEM). One is that the rate of convergence is faster than the rate of convergence of the conventional BEM. The other that it is a semi-analytical method since errors only occur at Gaussian quadrature points in the real implementation. Finally, seven interior examples and four exterior examples are presented for demonstrating the validity of the present approach to solve the 2D boundary value problems for the Helmholtz equation.

目錄
目錄	I
圖目錄	I
表目錄	VII
第一章 緒論	1
1.1 研究動機及目的	1
1.2 文獻回顧	2
1.2.1薄膜自由振動特徵值問題	2
1.2.2水平剪力波散射問題	3
1.2.3零場邊界積分方程法	3
1.2.4 無網格邊界積分方程法	4
1.2.5 局部正確解	5
1.3 論文架構	6
第二章 薄膜的自由振動問題分析	8
2.1 問題描述	8
2.1.1控制方程	8
2.1.2 邊界條件	10
2.2 無網格邊界積分方程法	10
2.2.1 邊界積分方程式	10
2.2.2局部正確解	16
2.2.3積分方程式轉換代數方程	18
2.2.4 近乎奇異積分的處理	20
2.3 數值結果	21
案例2-1：圓形薄膜	21
案例2-2：橢圓形薄膜	22
案例2-3：正三角形薄膜	23
案例2-4：含圓弧形缺角的圓形	25
案例2-5：同心圓	26
案例2-6：偏心圓	27
案例2-7：矩形邊界值問題	28
第三章 SH波散射問題	69
3.1 問題描述	69
3.1.1 控制方程	69
3.1.2 邊界條件	71
3.2 無網格邊界積分方程法求解外域問題	72
3.3動態應力集中因子	75
3.4數值結果與討論	77
案例3-1：無限域中含單一圓形孔洞的水平剪力波散射問題	77
案例3-2：無限域中含馬蹄形隧道的水平剪力波散射問題	79
案例3-3：半無限域含扇形峽谷的水平剪力波散射問題	80
案例3-4：半無限域中含多圓形孔洞與半圓峽谷的水平剪力波散射問題	81
第四章 結論與未來展望	109
4.1結論	109
4.2未來展望	110
參考文獻	111
附錄A	116
 
圖目錄
圖1.1 論文架構圖	7
圖2.1 薄膜自由振動的示意圖與自由體圖	8
圖2.2路徑B分成Bs以及BR示意圖	12
圖2.3邊界內外的不連續現象	17
圖2.4場點與源點佈點示意圖	19
圖2.5 圓形薄膜	30
圖2.6 橢圓形薄膜	30
圖2.7 正三角形薄膜	30
圖2.8 含圓弧形缺角的圓形薄膜	31
圖2.9同心圓薄膜	31
圖2.10偏心圓薄膜	31
圖2.11 矩形薄膜	32
圖2.12 圓形薄膜案例的高斯積分佈點圖(點數：N=30)	32
圖2.14 圓形薄膜案例Matlab中PDE toolbox的有限元素網格切割圖	33
(節點數：8385，元素數：16512)	33
圖2.16 近乎奇異處理前後示意圖	34
圖2.17 圓形薄膜案例第一個特徵值k1的收斂分析圖	35
圖2.18 圓形薄膜案例第二個特徵值k2的收斂分析圖	35
圖2.19 橢圓形薄膜案例高斯積分佈點圖(點數：N=30)	36
圖2.20 橢圓形薄膜案例Matlab中PDE toolbox的有限元素網格切割圖	36
(節點數：8385，元素數：16512)	36
圖2.21 橢圓形薄膜案例的U矩陣最小奇異值σ1對k作圖	36
圖2.22 橢圓形薄膜案例第一個特徵值k1的收斂分析圖	37
圖2.24 正三角形薄膜案例的高斯積分路徑一段佈點圖(點數：N=60)	38
圖2.25 正三角形薄膜案例的高斯積分路徑分段佈點圖(總點數：N=60)	38
圖2.26 正三角形薄膜案例Matlab裡PDE toolbox的有限元素網格切割圖	39
(節點數：16369，元素數：32256)	39
圖2.27 Ts,x核函數在正三角形邊界的分佈(x=(1,0))	39
圖2.28 正三角形薄膜使用不分段佈點的[U]矩陣最小奇異值σ1對k作圖	40
圖2.29 正三角形薄膜分段佈點案例的[U]矩陣最小奇異值σ1對k作圖	40
圖2.30 正三角形使用薄膜不分段佈點的[T]矩陣最小奇異值σ1對k作圖	41
圖2.31 正三角形薄膜使用分段佈點的[T]矩陣最小奇異值σ1對k作圖	41
圖2.32 正三角形薄膜使用分段佈點第一個特徵值k1的收斂分析圖	42
圖2.33正三角形薄膜使用分段佈點第二個特徵值k2的收斂分析圖	42
圖2.34 含圓弧形缺角的圓形薄膜案例高斯積分佈點圖(點數：N=60)	43
圖2.35 含圓弧形缺角的圓形薄膜案例	43
Matlab裡PDE toolbox的有限元素網格切割圖	43
(節點數：32609，元素數：64512)	43
圖2.36 含圓弧形缺角的圓形薄膜的[U]矩陣最小奇異值σ1對k作圖	44
圖2.37 含圓弧形缺角的圓形薄膜第一個特徵值k1的收斂分析圖	44
圖2.38 含圓弧形缺角的圓形薄膜第二個特徵值k2的收斂分析圖	45
圖2.39 同心圓薄膜案例在真實邊界的高斯積分佈點圖(總點數：N=60)	46
圖2.40 同心圓薄膜案例Matlab裡PDE toolbox的有限元素網格切割圖	46
(節點數：8168，元素數：16000)	46
圖2.41 同心圓薄膜案例的[U]矩陣最小奇異值σ1對k作圖	47
(外圓點數：30，內圓點數：30)	47
圖2.42 同心圓薄膜案例的[U]矩陣最小奇異值σ1對k作圖	47
(外圓點數：48，內圓點數：12)	47
圖2.43 同心圓薄膜案例第一個特徵值k1的收斂分析圖	48
(外圓點數：48，內圓點數：12)	48
圖2.44 同心圓薄膜案例第二個特徵值k2的收斂分析圖	48
(外圓點數：48，內圓點數：12)	48
圖2.45 偏心圓薄膜案例在真實邊界的高斯積分佈點圖(總點數：N=60)	49
圖2.46 偏心圓薄膜案例Matlab裡PDE toolbox的有限元素網格切割圖	49
(節點數：18177，元素數：35840)	49
圖2.47 偏心圓薄膜案例的[U]矩陣最小奇異值σ1對k作圖	50
(外圓點數：30，內圓點數：30)	50
圖2.48 偏心圓薄膜案例的[U]矩陣最小奇異值σ1對k作圖	50
(外圓點數：48，內圓點數：12)	50
圖2.49 偏心圓薄膜案例第一個特徵值k1的收斂分析圖	51
(外圓點數：48，內圓點數：12)	51
圖2.50 偏心圓薄膜案例第二個特徵值k2的收斂分析圖	51
(外圓點數：48，內圓點數：12)	51
圖2.51 矩形薄膜案例在真實邊界上的高斯積分佈點示意圖	52
圖2.52矩形薄膜案例邊界值問題的u(x)等高線圖	53
圖2.54矩形薄膜案例邊界值問題採分段佈點的u(x)等高線圖	53
圖3.1 含單一圓孔洞的無限域均勻介質受水平剪力波散射問題示意圖	69
圖3.2 微小立方體元素的應力狀態自由體圖	69
圖3.3全場的疊加原理	71
圖3.4外域問題的孔洞邊界固體角示意圖	72
圖3.5半平面問題使用映射法轉換成全平面問題	77
圖3.6 無限域中含單一圓形孔洞的水平剪力波散射問題	83
圖3.7 半無限域中含馬蹄形孔洞的水平剪力波散射問題	83
圖3.8 半無限域中含扇形峽谷的水平剪力波散射問題	84
圖3.9 半無限域中含多圓形邊界的水平剪力波散射問題	84
圖3.10半無限域中含多圓形邊界的水平剪力波散射問題(使用映像法後)	84
圖3.11 本法於含圓形孔洞案例的位移振幅等高線圖(高斯積分點數：N=30)	85
圖3.12 零場邊界積分方程法[32] 於含圓形孔洞案例的位移振幅等高線圖	85
(邊界節點數：N=41)	85
圖3.13 本法於含圓形孔洞案例其正y軸上的位移振幅變化	86
(高斯積分點數：N=30)	86
圖3.14 零場邊界積分方程法[32]於含圓形孔洞案例	86
其正y軸上的位移振幅變化(點數：N=41)	86
圖3.15 本法於含圓形孔洞案例其正y軸上的動態應力集中因子分佈	87
圖3.16 零場邊界積分方程法[32]於含圓形孔洞案例	87
其正y軸上的動態應力集中因子分佈(點數：N=41)	87
圖3.17 本法於圓形孔洞邊界上的位移(高斯積分點數：N=30)	88
圖3.18 零場邊界積分方程法[32]於圓形孔洞邊界上的位移(點數：N=41)	88
圖3.19 本法於(-a,0)點位上位移振幅對波數k的變化	89
(高斯積分點數：N=30)	89
圖3.20 零場邊界積分方程法[32]於(-a,0)點位上位移振幅對波數k的變化	89
(點數：N=41)	89
圖 3.21 本法於(0,a)點位上位移振幅對波數k的變化(高斯積分點數：N =30)	90
圖3.22 零場邊界積分方程法[32]於(0,a)點位上位移振幅對波數k的變化	90
(點數：N=41)	90
圖3.23 本法於圓孔洞邊界上的動態應力集中因子分布(點數：N=200)	91
圖3.24 零場邊界積分方程法[32]於圓孔洞邊界上的	91
動態應力集中因子分布	91
圖3.25 本法於圓孔洞邊界點(ϕ=π/2)其動態應力集中因子對波數k的變化	92
圖3.26 零場邊界積分方程法[32]於圓孔洞邊界點(ϕ=π/2)	92
其動態應力集中因子對波數k的變化	92
圖3.27馬蹄形真實邊界上的高斯積分點位圖	93
(上圓弧點數N=40，下圓弧點數N=20)	93
圖3.28 半無限域含馬蹄形孔洞之位移振幅等高線圖	93
(上圓弧點數N=40，下圓弧點數N=20)	93
圖3.29 半無限域含馬蹄形孔洞在η=1及α=90°與60°的地表位移振幅	94
圖3.30 半無限域含馬蹄形孔洞在η=1及α=30°與0°的地表位移振幅	95
圖3.31 半無限域含馬蹄形孔洞在η=4及α=90°與60°的地表位移振幅	96
圖3.32 半無限域含馬蹄形孔洞在η=4及α=30°與0°的地表位移振幅	97
圖3.33 半無限域含馬蹄形孔洞在η=1及α=90°與60°的孔洞位移振幅	98
圖3.34 半無限域含馬蹄形孔洞在η=1及α=30°與0°的孔洞位移振幅	99
圖3.35扇形峽谷真實邊界上的高斯積分佈點圖(總點數N=120點，β=60°)	100
圖3.36 半無限域含扇形峽谷在入射角α=30°(αpaper=60°)時	100
對不同η以及β之地表位移振幅	100
圖3.37 半無限域含扇形峽谷在β=30°、η=4時，	101
不同α之地表位移振幅	101
圖3.38 半無限域含扇形峽谷在β=30°、η=4對於不同α之地表位移振幅	102
圖3.39 半無限域含扇形峽谷在β=60°、η=8對於不同α的位移等高線圖	103
圖3.40 半無限域含扇形峽谷在β=60°、η=8對於不同α的位移振幅等高線圖	104
圖3.41 半無限域含扇形峽谷問題使用本法在β=30°、η=4對於不同入射角α的位移振幅等高線圖(高斯積分總點數N=700)	105
圖3.42 圓形真實邊界上的高斯積分點位示意圖	106
圖3.43 文獻[26]中的位移振幅等高線圖	106
圖3.44 本法於無限域中含四顆圓形孔洞情況(1)之位移振幅等高線圖	107
圖3.45 本法於無限域中含四顆圓形孔洞情況(2)之位移振幅等高線圖	108
圖A.1各局部正確解對孔洞邊界位移的相對誤差分佈	117
圖A.2使用w1s於(0,a)點位上位移振幅對波數k的變化	117
圖A.3使用w2s於(0,a)點位上位移振幅對波數k的變化	118
	118
圖A.4使用w3s於(0,a)點位上位移振幅對波數k的變化	118

 
表目錄
表2.1 圓形薄膜案例的前十個特徵值	54
表2.2 圓形薄膜案例前十個特徵值的相對誤差	54
表2.3 圓形薄膜案例使用無網格邊界積分方程法與有限元法的前六個特徵模態	55
表2.4 橢圓形薄膜案例前十個特徵值	56
表2.5 橢圓形薄膜案例前十個特徵值的相對誤差	56
表2.6 橢圓形薄膜案例使用無網格邊界積分方程法	57
與有限元法的前六個特徵模態	57
表2.7 正三角形薄膜受固定端邊界條件的前十個特徵值	58
表2.8 正三角形薄膜受固定端邊界條件的前十個特徵值的相對誤差	58
表2.9 正三角形薄膜受自由端邊界條件的前十個特徵值	59
表2.10 正三角形薄膜受自由端邊界條件的前十個特徵值的相對誤差	59
表2.11 正三角形薄膜受固定端邊界條件的無網格邊界積分方程法	60
與有限元法的前六個特徵模態	60
表2.12 正三角形薄膜自由端案例的無網格邊界積分方程法與有限元法的前六個特徵值模態	61
表2.13 正三角形薄膜受固定端邊界條件的無網格邊界積分方程法與文獻[8]的前六個模態節線分佈	62
表2.14 正三角形薄膜受自由端邊界條件的無網格邊界積分方程法與文獻[8]的前六個模態節線分佈	63
表2.15 含圓弧形缺角的圓形薄膜案例前十個特徵值	64
表2.16 含圓弧形缺角的圓形薄膜案例前十個特徵值的相對誤差	64
表2.17 含圓弧形缺角的圓形薄膜的無網格邊界積分方程法	64
與有限元法的前六個特徵模態	64
表2.18 同心圓薄膜案例前十個特徵值	65
表2.19 同心圓薄膜案例前十個特徵值的相對誤差	65
表2.20 同心圓薄膜案例的無網格邊界積分方程法	66
與有限元法的前六個特徵模態	66
表2.21 偏心圓薄膜案例前十個特徵值	67
表2.22 偏心圓薄膜案例前十個特徵值的相對誤差	67
表2.23 偏心圓薄膜案例的無網格邊界積分方程法	68
與有限元法的前六個特徵值模態	68
表2.24 同心圓薄膜案例與偏心圓薄膜案例的假根解析解	68

[1]	K. Nagaya, “Vibrations and dynamic response of membranes with arbitrary shape”, American Society of Mechanical Engineers Journal of Applied Mechanics, Vol. 45, pp. 153-158, (1978).
[2]	J.T. Chen and H.-K. Hong, “Dual boundary integral equations at a corner using contour approach around singularity”, Elsevier, Vol. 21, pp. 169-178, (1994).
[3]	S.W. Kang and J.M. Lee, “Application of free vibration analysis of membranes using the non-dimensional dynamic influence function”, Journal of Sound and Vibration, Vol. 234, pp. 455-470, (2000).
[4]	J.T. Chen, J.H. Lin, S.R. Kuo and S.W. Chyuan, “Boundary element analysis for the Helmholtz eigenvalue problems with a multiply connected domain”,  Proceedings of the Royal Society A Mathematical, Physical and Engineering Sciences, Vol. 457, pp. 2521-2546, (2001).
[5]	A. Karageorghis, “The method of fundamental solutions for the calcula-tion of the eigenvalues of the Helmholtz equation”, Applied Math. Letters., Vol. 14, pp. 837-842, (2001).
[6]	J.T. Chen, S. R. Lin, K.H. Chen, I.L. Chen and S.W. Chyuan, “Eigenanalysis for membranes with stringers using conventional BEM in conjunction with SVD technique”, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 192, pp. 1299-1322, (2002).
[7]	J.T. Chen, L.W. Liu and H.-K. Hong, “Spurious and true eigensolutions of Helmholtz BIEs and BEMs for a multiply connected problem”, Proceedings of the Royal Society A Mathematical, Physical and Engineering Sciences, Vol. 459, pp. 1891-1924, (2003).
[8]	S.W. Kang, J.M. Lee, “Free vibration analysis of an unsymmetric trapezoidal membrane”, Journal of Sound and Vibration, Vol. 272, pp. 450-460, (2004).
[9]	C.N. Weng, “Eigenstructure of Helmholtz operator for equilateral triangle”, Thesis supervised by Prof. Tung-yang Chen, Department of Civil Engineering, National Cheng Kung University, Tainan City, Taiwan, (2005). 
[10]	S.Y. Reutskiy, “The method of fundamental solutions for eigenproblems with Laplace and biharmonic operators”, CMC: Computers, Materials & Continua, Vol. 2, pp. 177-188, (2005).
[11]	S.Y. Reutskiy, “The method of external sources (MES) for eigenvalue problems with Helmholtz equation”, CMES: Computer Modeling in Engineering &Sciences, Vol. 12, pp. 27-39, (2006).
[12]	L.Z. Lu, T. Hu, H. Tsai and H. Cheng, “The Trefftz method for solving eigenvalue problems”, Engineering Analysis with Boundary Elements, Vol.30, pp. 292-308, (2006).
[13]	J.T. Chen, C.T. Chen and I.L. Chen, “Null-field integral equation approach for eigenproblems with circular boundaries”, Journal of Computational Acoustics, Vol. 15(4), pp. 401-428 , (2007).
[14]	J.T. Chen, P.Y. Chen and C.T. Chen, “Surface motion of multiple alluvial valleys for incident plane SH-waves by using a semi-analytical approach”, Soil Dynamics and Earthquake Engineering, Vol. 28, pp. 58-72, (2008).
[15]	S.Y. Reutskiy, “Vibration analysis of arbitrarily shaped membranes”, Computer Modeling in Engineering & Sciences, Vol. 51(2), pp.115-141, (2009).
[16]	J.T. Chen, J.W. Lee, C.F. Wu and I.L. Chen, “SH-wave diffraction by a semi-circular hill revisited: A null-field boundary integral equation method using degenerate kernels”, Soil Dynamics and Earthquake Engineering, Vol. 31, pp.  729-736, (2011).
[17]	J.T. Chen, J.W. Lee and S.Y. Leu, “Analytical investigation for true and spurious eigensolutions of multiply-connected membranes containing elliptical boundaries using the dual BIEM”, International Journal of Solids and Structures, Vol. 48, pp. 729-744, (2011).
[18]	J.T. Chen, J.W. Lee and W.S. Shyu, “SH-wave scattering by a semi-elliptical hill using a null-field boundary integral equation method and a hybrid method”,  Geophysical Journal International, Vol. 188, pp. 177-194, (2012).
[19]	J.T. Chen, J.W. Lee and S.Y. Leu, “Analytical and numerical investigation for true and spurious eigensolutions of an elliptical membrane using the real-part dual BIEM/BEM”, Meccanica, Vol. 47(5), pp. 1103-1117, (2012).
[20]	J.W. Lee and J.T. Chen, “A semi-analytical approach for a nonconfocal suspended strip in an elliptical waveguide”, IEEE Transactions On Microwave Theory and Techniques, Vol. 60(12), pp. 0018-9480, (2012)
[21]	K.H. Chang, D.H. Tsaur and J.H. Wang “Scattering of SH waves by a circular sectorial canyon”, Geophysical Journal International, Vol. 195, pp. 532-43, (2013).
[22]	Q. Sun, E. Klaseboer, B.C. Khoo and D.Y.C. Chan, “Boundary regularized integral equation formulation of the Helmholtz equation in acoustics”, Royal Society Open Science, Vol. 2, 140520, (2015).
[23]	Y. Gao, D. Dai, N. Zhang, Y. Wu and A.H. Mahfouz, “Scattering of plane and cylindrical sh waves by a horseshoe shaped cavity”, Journal of Earthquake and Tsunami, Vol. 10(2), 1650011, (2016).
[24]	Y.M. Zhang, F.L. Sun, D.L. Young, W. Chen and Y. Gu, “Average source boundary node method for potential problems”, Engineering Analysis with Boundary Elements, Vol. 70, pp. 114-125, (2016).
[25]	F.L. Sun, Y.M. Zhang, D.L. Young and W. Chen, “A new boundary meshfree method for potential problems”, Advances in Engineering Software, Vol. 100, pp. 32-42, (2016). 
[26]	J.T. Chen, J.W. Lee and Y.C. Tu, “Focusing phenomenon and near-trapped modes of SH waves”, Earthquake Engineering and Engineering Vibration, Vol. 15(3), pp. 477-486, (2016).
[27]	J.W. Lee, L.W. Liu, H.-K. Hong and J.T. Chen, “Applications of the Clifford algebra valued boundary element method to electromagnetic scattering problems”,  Engineering Analysis with Boundary Elements, Vol. 71, pp. 140-150, (2016).
[28]	Y.M. Zhang, F.L. Sun, W. Chen, Y. Gu and D.L. Young, “A meshless average source boundary node method for steady-state heat conduction in general anisotropic media”, Computers and Mathematics with Applications, Vol. 75, pp.  1739-1755, (2018).
[29]	L.W. Liu and H.-K. Hong, “Clifford algebra valued boundary integral equations for three-dimensional elasticity”, Applied Mathematical Modelling, Vol. 54, pp.  246-267, (2018).
[30]	H.-K. Hong, Y.C. Kao, J.W. Lee, L.W. Liu and J.T. Chen, “Quaternion boundary element method for coupled exterior and interior magnetostatic fields”, IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 54(6), pp. 0018-9464, (2018).
[31]	W. Qu, C.M. Fan and Y. Gu, “Localized method of fundamental solutions for interior Helmholtz problems with high wave number”, Engineering Analysis with Boundary Elements, Vol. 107, pp. 25-32, (2019).
[32]	Y.T. Shih, “SH-wave scattering by circular hole in a functionally graded material using the null-field boundary integral equation method”, Thesis supervised by Prof. Jia-Wei Lee, Department of Civil Engineering, Tamkang University, New Taipei City, Taiwan, (2019).
[33]	M. Panji, B. Ansari, “Anti plane seismic ground motion above twin horseshoe shaped lined tunnels”, Innovative Infrastructure Solutions, Vol. 5, article 7, (2019).
[34]	S. E. Hong, “SH-wave scattering problems containing circular holes in a functionally graded material and bimaterial using the null-field boundary integral equation method”, Thesis supervised by Prof. Jia-Wei Lee, Department of Civil Engineering, Tamkang University, New Taipei City, Taiwan, (2020).