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系統識別號 U0002-2206200511502000
中文論文名稱 有關Alzer不等式的一些簡易的證明
英文論文名稱 Simpler proofs of Alzer's inequality
校院名稱 淡江大學
系所名稱(中) 數學學系碩士班
系所名稱(英) Department of Mathematics
學年度 93
學期 2
出版年 94
研究生中文姓名 阮靜芬
研究生英文姓名 Ching-Fen Juan
學號 691150014
學位類別 碩士
語文別 中文
第二語文別 英文
口試日期 2005-06-03
論文頁數 30頁
口試委員 指導教授-楊國勝
委員-胡德軍
委員-曾貴麟
中文關鍵字 Alzer不等式  Cauchy均值定理  數學歸納法 
英文關鍵字 Alzer inequality  Cauchy's Mean-Value Theorem  mathematical induction 
學科別分類 學科別自然科學數學
中文摘要 Alzer不等式為

對於Alzer不等式,Sandor和Ume給了一個很簡易的證明,他們的證明包含了數學歸納法的原則和其他分析的方法。而Sandor和Ume的證明中,限制r為正的實數。
在本論文中,我們將分別使用Sandor和Ume的證法,證明了Alzer不等式在任意實數r均可成立。在主要結論中,我們將任意實數r分為 r<-1;-1另外,我們也提出一些Alzer不等式的推廣,有N. Elezovic 和J. Pecaric的推廣;有F. Qi和L. Debnath 的推廣。最後,我們做出類似F. Qi和L. Debnath的推廣。
英文摘要 The following is known as the Alzer inequality:

Sandor and Ume gave a simple proof of Alzer inequality in the case that r is a positive real number,their proofs involve the principle of the mathematical induction and other analytical methods.
We shall prove that the Alzer inequality holds for every real number r . The methods we used to prove are motivated by Sandor and Ume,respectively.
We also state some generalization of Alzer inequality given by N. Elezovic and J. Pecaric;F. Qi and L. Debnath theorem,respectively . Finally,we give a result which is similar to that of F. Qi and L. Debnath’s theorem.
論文目次 目 錄

1 介紹…………………………………………………...…p1
2 Alzer不等式的簡易證明
2.1 Sandor的證明………………….……………p1
2.2 Ume的證明………………………….……...p2
3 主要結論
3.1 利用Sandor方法證明Alzer不等式
3.1.1 的情形……………………………..….....p4
3.1.2 的情形…………………………….........p6
3.1.3 的情形……………….…………...p7
3.1.4 的情形……………….…….………p7
3.2 利用Ume方法證明Alzer不等式
3.2.1 的情形…………………….…………p8
3.2.2 的情形…………….……….……...p9
4 推廣
4.1 N. Elezovic 和 J. Pecaric推廣的結果…p11
4.2 F. Qi 和 L. Debnath推廣的結果…………p12
4.3 推廣F. Qi 和 L. Debnath的結果…………p13
參考文獻………………………………………………………p15
Contents

1 Introduction…………………………………………….p16
2 Simpler proofs of Alzer’s inequality
2.1 Sandor’s proof………………….……………..p16
2.2 Ume’s proof…………………………….……….p17
3 Main results
3.1 Use Sandor method to prove Alzer inequality
3.1.1 the case …….……..………………………...p19
3.1.2 the case ………..………………............p20
3.1.3 the case .……...…………………….p21
3.1.4 the case …...………………........p22
3.2 Use Ume method to prove Alzer inequality
3.2.1 the case …………………...………..p22
3.2.2 the case ……….............……….p24
4 Generalizations
4.1 generalization of Alzer’s inequality give by N. Elezovic and J. Pecaric.....................………p26
4.2 generalization of Alzer’s inequality give by F. Qi and L. Debnath…...……………………………………p26
4.3 generalization similar to that of F. Qi and
L. Debnath……………..…………………………………..p27
References ………………………………………..……..p30
參考文獻 1. H. Alzer, On an inequality of H. Minc and L. Sathre, J. Math. Appl. 179 (1993), 396-402.
2. F. Qi and L. Debnath, On a new generalization of Alzer’s inequality, J. Math. & Math. Sci. Vol.23, No.12 (2000) 815-818.
3. N. Elezovic and J. Pecaric, On Alzer’s inequality, J. Math. Anal. 223 (1998) , no.1,366-369.
4. H. Minc and L. Sathre, Some inequalities involving , Proc. Edinburgh Math. Soc. 14 (1964/65), 41-46.
5. J. Sandor , On an inequality of Alzer , J.Math.Anal. 192(1995), no. 3 , 1034-1035.
6. J. S. Ume, An elementary proof of H. Alzer’s inequality, Math.Japon.44 (1996),no.3,521-522.
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