近年來，製程能力指標被製造業廣泛的應用在品質監控方面，以評估製程
能力是否合乎水準。大多數的製程能力指標都是假設產品的品質特性在常態分
配下；然而，產品壽命往往是服從非常態分配，例如：指數分配、柏拉圖分配、
韋伯分配等等。對於產品壽命之相關分配，在實務上會利用壽命績效指標L C 來
衡量產品的壽命績效，其中L 是規格下界。在壽命試驗中常因時間限制以及人
力和成本的考量而無法取得完整的樣本資料，使得必須使用設限樣本資料。
本文主要目的是利用產品壽命具有Gompertz 分配之右型Ⅱ設限樣本，
(1) (2) ( ) , , , k X X " X ，來評估壽命績效指標L C ，並且利用L C 的最大概似估計量發展
一個新的檢定程序與信賴區間。此外，也利用產品壽命來自一個具有雙參數指
數分配之右型Ⅱ設限樣本，建構出壽命績效指標L C 的信賴區間。利用此檢定程
序與信賴區間，可以提供廠商評估產品壽命是否達到要求水準。

In recent years, many process capability indices (PCIs) have been widely
used in quality monitoring by many manufacturing industries. Most PCIs assume
that the quality characteristic has a normal distribution. However, the
lifetime of products frequently possesses an exponential distribution, a
Pareto or Weibull distribution etc.. In practice, the lifetime performance
index L C is utilized to measure lifetime performance for products with some
lifetime distributions, where L is the lower specification limit. In
lifetime testing experiments, we may not be able to obtain a complete sample
due to time limitation or other restrictions. Therefore, censored samples
arise in practice.
This research constructs a maximum likelihood estimator (MLE) of L C
based on the right type Ⅱ censored sample from the Gompertz distribution.
The MLE of L C is then utilized to develop a new hypothesis testing procedure
and the confidence interval in the condition of known L . In addition, the
confidence interval of L C is also constructed for the two-parameter
exponential distribution with the right type Ⅱ censored sample. The
purchasers can then employ the new hypothesis and the confidence interval
to determine whether the lifetime performance of products adhere to the
required level.

目錄
第 一 章 緒論.........................................................................................1
1.1 前言..............................................................................................1
1.2 研究動機與目的..........................................................................1
1.3 本文架構......................................................................................4
第 二 章 文獻探討................................................................................5
2.1 製程能力指標的發展..................................................................5
2.2 設限樣本的文獻探討..................................................................8
第 三 章 利用右型II設限樣本評估具有Gompertz分配之產品的壽命
績效......................................................................................................... 10
3.1 產品的壽命績效指標與製程良率............................................12
3.2 壽命績效指標L C 的最大概似估計量.......................................15
3.3 壽命績效指標的檢定程序........................................................18
3.4 壽命績效指標之檢定力及其模擬值之比較............................21
3.4.1 壽命績效指標之檢定力函數........................................... 21
3.4.2 檢定力函數的蒙地卡羅模擬程序與其模擬值的比較... 22
3.5 壽命績效指標的信賴區間........................................................25
3.6 壽命績效指標之信賴水準的蒙地卡羅模擬程序....................28
3.7 數值範例....................................................................................30
第 四 章 利用壽命績效指標之信賴區間評估具有雙參數指數分配
之產品績效的評估程序........................................................................ 70
4.1 產品的壽命績效指標與製程良率............................................71
4.2 壽命績效指標L C 的最大概似估計量.......................................73
4.3 壽命績效指標L C 的信賴區間...................................................75
4.4 壽命績效指標之信賴水準的蒙地卡羅模擬程序....................79
4.5 數值範例....................................................................................81
第 五 章 結論與未來研究方向....................................................... 100
5.1 結論..........................................................................................100
5.2 未來研究方向..........................................................................101
參考文獻................................................................................................ 102

表目錄
表3.1 壽命績效指標L C 與製程良率r P ..................................................................15
表3.2 參數β 、λˆ 及SSE的對應值.........................................................................32
表3.3 在顯著水準α = 0.01、c = 0.1(0.1)0.9 及k = 2(1)65 下，具有Gompertz分配
之產品壽命績效指標的臨界值0 C ....................................................................34
表3.3(續) 在顯著水準α = 0.01、c = 0.1(0.1)0.9 及k = 2(1)65 下，具有Gompertz
分配之產品壽命績效指標的臨界值0 C ............................................................35
表3.4 在顯著水準α = 0.05、c = 0.1(0.1)0.9 及k = 2(1)65 下，具有Gompertz分配
之產品壽命績效指標的臨界值0 C ....................................................................36
表3.4(續) 在顯著水準α = 0.05 、c = 0.1(0.1)0.9 及k = 2(1)65 下，具有Gompertz
分配之產品壽命績效指標的臨界值0 C ............................................................37
表3.5 在顯著水準α = 0.01、參數值λ = 1、樣本數n = 10 下，壽命績效指標的
檢定力真實值( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 及MSE.............................................38
表3.6 在顯著水準α = 0.01、參數值λ = 1、樣本數n = 15 下，壽命績效指標的
檢定力真實值( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 及MSE.............................................39
表3.7 在顯著水準α = 0.01、參數值λ = 1、樣本數n = 20 下，壽命績效指標的
檢定力真實值( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 及MSE.............................................40
表3.8 在顯著水準α = 0.01、參數值λ = 1、樣本數n = 25下，壽命績效指標的
檢定力真實值( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 及MSE.............................................41
表3.9 在顯著水準α = 0.01、參數值λ = 1、樣本數n = 30 下，壽命績效指標的
檢定力真實值( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 及MSE.............................................42
表3.10 在顯著水準α = 0.05 、參數值λ = 1、樣本數n = 10 下，壽命績效指標的
檢定力真實值( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 及MSE.............................................43
表3.11 在顯著水準α = 0.05 、參數值λ = 1、樣本數n = 15 下，壽命績效指標的
檢定力真實值( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 及MSE.............................................44
表3.12 在顯著水準α = 0.05 、參數值λ = 1、樣本數n = 20 下，壽命績效指標的
檢定力真實值( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 及MSE.............................................45
表3.13 在顯著水準α = 0.05 、參數值λ = 1、樣本數n = 25下，壽命績效指標的
檢定力真實值( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 及MSE.............................................46
表3.14 在顯著水準α = 0.05 、參數值λ = 1、樣本數n = 30 下，壽命績效指標的
檢定力真實值( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 及MSE.............................................47
表3.15 在顯著水準α = 0.01、參數值λ = 0.1、樣本數n = 10 下，壽命績效指標的
檢定力真實值( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 及MSE.............................................48
表3.16 在顯著水準α = 0.01、參數值λ = 0.1、樣本數n = 15 下，壽命績效指標的
檢定力真實值( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 及MSE......................................................49
表3.17 在顯著水準α = 0.01、參數值λ = 0.1、樣本數n = 20 下，壽命績效指標
的檢定力真實值( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 及MSE.........................................50
表3.18 在顯著水準α = 0.01、參數值λ = 0.1、樣本數n = 25下，壽命績效指標
的檢定力真實值( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 及MSE.........................................51
表3.19 在顯著水準α = 0.01、參數值λ = 0.1、樣本數n = 30 下，壽命績效指標
的檢定力真實值( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 及MSE.........................................52
表3.20 在顯著水準α = 0.05 、參數值λ = 0.1、樣本數n = 10 下，壽命績效指標
的檢定力真實值( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 及MSE.........................................53
表3.21 在顯著水準α = 0.05 、參數值λ = 0.1、樣本數n = 15 下，壽命績效指標
的檢定力真實值( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 及MSE.........................................54
表3.22 在顯著水準α = 0.05 、參數值λ = 0.1、樣本數n = 20 下，壽命績效指標
的檢定力真實值( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 及MSE.........................................55
表3.23 在顯著水準α = 0.05 、參數值λ = 0.1、樣本數n = 25下，壽命績效指標
的檢定力真實值( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 及MSE.........................................56
表3.24 在顯著水準α = 0.05 、參數值λ = 0.1、樣本數n = 30 下，壽命績效指標
的檢定力真實值( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 及MSE.........................................57
表3.25 在α = 0.01、參數值β = 0.1、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下， L C
之信賴區間的平均信賴水準1−αˆ .....................................................................58
表3.25(續) 在α = 0.01、參數值β = 0.1、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下，
L C 之信賴區間的平均信賴水準1−αˆ ...............................................................59
表3.26 在α = 0.05、參數值β = 0.1、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下， L C
之信賴區間的平均信賴水準1−αˆ .....................................................................60
表3.26(續) 在α = 0.05、參數值β = 0.1、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下，
L C 之信賴區間的平均信賴水準1−αˆ ...............................................................61
表3.27 在α = 0.01、參數值β = 1、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下， L C 之
信賴區間的平均信賴水準1−αˆ .........................................................................62
表3.27(續) 在α = 0.01、參數值β = 1、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下，
L C 之信賴區間的平均信賴水準1−αˆ ...............................................................63
表3.28 在α = 0.05、參數值β = 1、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下， L C 之
信賴區間的平均信賴水準1−αˆ .........................................................................64
表3.28(續) 在α = 0.05 、參數值β = 1、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下，
L C 之信賴區間的平均信賴水準1−αˆ ...............................................................65
表3.29 在α = 0.01、參數值β =10 、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下， L C
之信賴區間的平均信賴水準1−αˆ .....................................................................66
表3.29(續) 在α = 0.01、參數值β =10、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下，
L C 之信賴區間的平均信賴水準1−αˆ ...............................................................67
表3.30 在α = 0.05、參數值β =10、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下， L C
之信賴區間的平均信賴水準1−αˆ .....................................................................68
表3.30(續) 在α = 0.05、參數值β =10、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下，
L C 之信賴區間的平均信賴水準1−αˆ ...............................................................69
表4.1 在顯著水準α = 0.01下， 2 (2(k −1)) α χ 、Canal近似方法及Wilson-Hilferty
近似方法的對應值................................................................................................................86
表4.2 在顯著水準α = 0.05 下， 2 (2(k −1)) α χ 、Canal近似方法及Wilson-Hilferty
近似方法的對應值..............................................................................................87
表4.3 在α = 0.01、參數值γ = 0、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下， L C 之
信賴區間的平均信賴水準1−αˆ .........................................................................88
表4.3(續) 在α = 0.01、參數值γ = 0 、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下，
L C 之信賴區間的平均信賴水準1−αˆ ...............................................................89
表4.4 在α = 0.05、參數值γ = 0、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下， L C 之
信賴區間的平均信賴水準1−αˆ .........................................................................90
表4.4(續) 在α = 0.05 、參數值γ = 0 、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下，
L C 之信賴區間的平均信賴水準1−αˆ ...............................................................91
表4.5 在α = 0.01、參數值γ = 5、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下， L C 之
信賴區間的平均信賴水準1−αˆ .........................................................................92
表4.5(續) 在α = 0.01、參數值γ = 5、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下， L C
之信賴區間的平均信賴水準1−αˆ .....................................................................93
表4.6 在α = 0.05、參數值γ = 5、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下， L C 之
信賴區間的平均信賴水準1−αˆ .........................................................................94
表4.6(續) 在α = 0.05 、參數值γ = 5、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下，
L C 之信賴區間的平均信賴水準1−αˆ ...............................................................95
表4.7 在α = 0.01、參數值γ = 10 、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下， L C
之信賴區間的平均信賴水準1−αˆ .....................................................................96
表4.7(續) 在α = 0.01、參數值γ = 10、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下，
L C 之信賴區間的平均信賴水準1−αˆ ...............................................................97
表4.8 在α = 0.05、參數值γ = 10 、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下， L C
之信賴區間的平均信賴水準1−αˆ .....................................................................98
表4.8(續) 在α = 0.05、參數值γ = 10、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下，
L C 之信賴區間的平均信賴水準1−αˆ ...............................................................99

圖目錄
圖3.1 Gompertz分配之機率密度函數圖..............................................................11
圖3.2 Gompertz分配之故障率函數圖..................................................................11
圖3.3 β 與SSE的關係圖........................................................................................33
圖3.4 在顯著水準α = 0.01、參數值λ = 1、樣本數n = 10 下，壽命績效指標的
檢定力( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 之圖形..........................................................38
圖3.5 在顯著水準α = 0.01、參數值λ = 1、樣本數n = 15 下，壽命績效指標的
檢定力( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 之圖形..........................................................39
圖3.6 在顯著水準α = 0.01、參數值λ = 1、樣本數n = 20 下，壽命績效指標的
檢定力( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 之圖形..........................................................40
圖3.7 在顯著水準α = 0.01、參數值λ = 1、樣本數n = 25下，壽命績效指標的
檢定力( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 之圖形..........................................................41
圖3.8 在顯著水準α = 0.01、參數值λ = 1、樣本數n = 30 下，壽命績效指標的
檢定力( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 之圖形..........................................................42
圖3.9 在顯著水準α = 0.05 、參數值λ = 1、樣本數n = 10 下，壽命績效指標的
檢定力( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 之圖形..........................................................43
圖3.10 在顯著水準α = 0.05 、參數值λ = 1、樣本數n = 15 下，壽命績效指標的
檢定力( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 之圖形..........................................................44
圖3.11 在顯著水準α = 0.05 、參數值λ = 1、樣本數n = 20 下，壽命績效指標的
檢定力( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 之圖形..........................................................45
圖3.12 在顯著水準α = 0.05 、參數值λ = 1、樣本數n = 25下，壽命績效指標的
檢定力( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 之圖形..........................................................46
圖3.13 在顯著水準α = 0.05 、參數值λ = 1、樣本數n = 30 下，壽命績效指標的
檢定力( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 之圖形..........................................................47
圖3.14 在顯著水準α = 0.01、參數值λ = 0.1、樣本數n = 10 下，壽命績效指標的
檢定力( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 之圖形..........................................................48
圖3.15 在顯著水準α = 0.01、參數值λ = 0.1、樣本數n = 15 下，壽命績效指標的
檢定力( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 之圖形..........................................................49
圖3.16 在顯著水準α = 0.01、參數值λ = 0.1、樣本數n = 20 下，壽命績效指標
的檢定力( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 之圖形.....................................................50
圖3.17 在顯著水準α = 0.01、參數值λ = 0.1、樣本數n = 25下，壽命績效指標
的檢定力( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 之圖形.....................................................51
圖3.18 在顯著水準α = 0.01、參數值λ = 0.1、樣本數n = 30 下，壽命績效指標
的檢定力( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 之圖形.....................................................52
圖3.19 在顯著水準α = 0.05 、參數值λ = 0.1、樣本數n = 10 下，壽命績效指標
的檢定力( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 之圖形.................................................................53
圖3.20 在顯著水準α = 0.05 、參數值λ = 0.1、樣本數n = 15 下，壽命績效指標
的檢定力( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 之圖形.....................................................54
圖3.21 在顯著水準α = 0.05 、參數值λ = 0.1、樣本數n = 20 下，壽命績效指標
的檢定力( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 之圖形.....................................................55
圖3.22 在顯著水準α = 0.05 、參數值λ = 0.1、樣本數n = 25下，壽命績效指標
的檢定力( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 之圖形.....................................................56
圖3.23 在顯著水準α = 0.05 、參數值λ = 0.1、樣本數n = 30 下，壽命績效指標
的檢定力( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 之圖形.....................................................57

參考文獻
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