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系統識別號 U0002-2006200902301000
中文論文名稱 Gompertz分配產品之壽命績效的評估
英文論文名稱 Assessing the lifetime performance for the products with Gompertz distribution
校院名稱 淡江大學
系所名稱(中) 統計學系碩士班
系所名稱(英) Department of Statistics
學年度 97
學期 2
出版年 98
研究生中文姓名 吳亭潔
研究生英文姓名 Ting-Chieh Wu
學號 696650356
學位類別 碩士
語文別 中文
口試日期 2009-06-12
論文頁數 104頁
口試委員 指導教授-吳錦全
委員-吳淑妃
委員-賴耀宗
中文關鍵字 Gompertz 分配  雙參數指數分配  右型Ⅱ設限樣本  壽命績效指標  最大概似估計量  蒙地卡羅模擬 
英文關鍵字 Gompertz distribution  Two-parameter exponential distribution  Type Ⅱ censored sample  Lifetime performance index  Maximum likelihood estimator  Monte Carlo simulation 
學科別分類 學科別自然科學統計
中文摘要 近年來,製程能力指標被製造業廣泛的應用在品質監控方面,以評估製程
能力是否合乎水準。大多數的製程能力指標都是假設產品的品質特性在常態分
配下;然而,產品壽命往往是服從非常態分配,例如:指數分配、柏拉圖分配、
韋伯分配等等。對於產品壽命之相關分配,在實務上會利用壽命績效指標L C 來
衡量產品的壽命績效,其中L 是規格下界。在壽命試驗中常因時間限制以及人
力和成本的考量而無法取得完整的樣本資料,使得必須使用設限樣本資料。
本文主要目的是利用產品壽命具有Gompertz 分配之右型Ⅱ設限樣本,
(1) (2) ( ) , , , k X X 􀀢 X ,來評估壽命績效指標L C ,並且利用L C 的最大概似估計量發展
一個新的檢定程序與信賴區間。此外,也利用產品壽命來自一個具有雙參數指
數分配之右型Ⅱ設限樣本,建構出壽命績效指標L C 的信賴區間。利用此檢定程
序與信賴區間,可以提供廠商評估產品壽命是否達到要求水準。
英文摘要 In recent years, many process capability indices (PCIs) have been widely
used in quality monitoring by many manufacturing industries. Most PCIs assume
that the quality characteristic has a normal distribution. However, the
lifetime of products frequently possesses an exponential distribution, a
Pareto or Weibull distribution etc.. In practice, the lifetime performance
index L C is utilized to measure lifetime performance for products with some
lifetime distributions, where L is the lower specification limit. In
lifetime testing experiments, we may not be able to obtain a complete sample
due to time limitation or other restrictions. Therefore, censored samples
arise in practice.
This research constructs a maximum likelihood estimator (MLE) of L C
based on the right type Ⅱ censored sample from the Gompertz distribution.
The MLE of L C is then utilized to develop a new hypothesis testing procedure
and the confidence interval in the condition of known L . In addition, the
confidence interval of L C is also constructed for the two-parameter
exponential distribution with the right type Ⅱ censored sample. The
purchasers can then employ the new hypothesis and the confidence interval
to determine whether the lifetime performance of products adhere to the
required level.
論文目次 目錄
第 一 章 緒論.........................................................................................1
1.1 前言..............................................................................................1
1.2 研究動機與目的..........................................................................1
1.3 本文架構......................................................................................4
第 二 章 文獻探討................................................................................5
2.1 製程能力指標的發展..................................................................5
2.2 設限樣本的文獻探討..................................................................8
第 三 章 利用右型II設限樣本評估具有Gompertz分配之產品的壽命
績效......................................................................................................... 10
3.1 產品的壽命績效指標與製程良率............................................12
3.2 壽命績效指標L C 的最大概似估計量.......................................15
3.3 壽命績效指標的檢定程序........................................................18
3.4 壽命績效指標之檢定力及其模擬值之比較............................21
3.4.1 壽命績效指標之檢定力函數........................................... 21
3.4.2 檢定力函數的蒙地卡羅模擬程序與其模擬值的比較... 22
3.5 壽命績效指標的信賴區間........................................................25
3.6 壽命績效指標之信賴水準的蒙地卡羅模擬程序....................28
3.7 數值範例....................................................................................30
第 四 章 利用壽命績效指標之信賴區間評估具有雙參數指數分配
之產品績效的評估程序........................................................................ 70
4.1 產品的壽命績效指標與製程良率............................................71
4.2 壽命績效指標L C 的最大概似估計量.......................................73
4.3 壽命績效指標L C 的信賴區間...................................................75
4.4 壽命績效指標之信賴水準的蒙地卡羅模擬程序....................79
4.5 數值範例....................................................................................81
第 五 章 結論與未來研究方向....................................................... 100
5.1 結論..........................................................................................100
5.2 未來研究方向..........................................................................101
參考文獻................................................................................................ 102

表目錄
表3.1 壽命績效指標L C 與製程良率r P ..................................................................15
表3.2 參數β 、λˆ 及SSE的對應值.........................................................................32
表3.3 在顯著水準α = 0.01、c = 0.1(0.1)0.9 及k = 2(1)65 下,具有Gompertz分配
之產品壽命績效指標的臨界值0 C ....................................................................34
表3.3(續) 在顯著水準α = 0.01、c = 0.1(0.1)0.9 及k = 2(1)65 下,具有Gompertz
分配之產品壽命績效指標的臨界值0 C ............................................................35
表3.4 在顯著水準α = 0.05、c = 0.1(0.1)0.9 及k = 2(1)65 下,具有Gompertz分配
之產品壽命績效指標的臨界值0 C ....................................................................36
表3.4(續) 在顯著水準α = 0.05 、c = 0.1(0.1)0.9 及k = 2(1)65 下,具有Gompertz
分配之產品壽命績效指標的臨界值0 C ............................................................37
表3.5 在顯著水準α = 0.01、參數值λ = 1、樣本數n = 10 下,壽命績效指標的
檢定力真實值( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 及MSE.............................................38
表3.6 在顯著水準α = 0.01、參數值λ = 1、樣本數n = 15 下,壽命績效指標的
檢定力真實值( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 及MSE.............................................39
表3.7 在顯著水準α = 0.01、參數值λ = 1、樣本數n = 20 下,壽命績效指標的
檢定力真實值( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 及MSE.............................................40
表3.8 在顯著水準α = 0.01、參數值λ = 1、樣本數n = 25下,壽命績效指標的
檢定力真實值( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 及MSE.............................................41
表3.9 在顯著水準α = 0.01、參數值λ = 1、樣本數n = 30 下,壽命績效指標的
檢定力真實值( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 及MSE.............................................42
表3.10 在顯著水準α = 0.05 、參數值λ = 1、樣本數n = 10 下,壽命績效指標的
檢定力真實值( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 及MSE.............................................43
表3.11 在顯著水準α = 0.05 、參數值λ = 1、樣本數n = 15 下,壽命績效指標的
檢定力真實值( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 及MSE.............................................44
表3.12 在顯著水準α = 0.05 、參數值λ = 1、樣本數n = 20 下,壽命績效指標的
檢定力真實值( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 及MSE.............................................45
表3.13 在顯著水準α = 0.05 、參數值λ = 1、樣本數n = 25下,壽命績效指標的
檢定力真實值( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 及MSE.............................................46
表3.14 在顯著水準α = 0.05 、參數值λ = 1、樣本數n = 30 下,壽命績效指標的
檢定力真實值( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 及MSE.............................................47
表3.15 在顯著水準α = 0.01、參數值λ = 0.1、樣本數n = 10 下,壽命績效指標的
檢定力真實值( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 及MSE.............................................48
表3.16 在顯著水準α = 0.01、參數值λ = 0.1、樣本數n = 15 下,壽命績效指標的
檢定力真實值( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 及MSE......................................................49
表3.17 在顯著水準α = 0.01、參數值λ = 0.1、樣本數n = 20 下,壽命績效指標
的檢定力真實值( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 及MSE.........................................50
表3.18 在顯著水準α = 0.01、參數值λ = 0.1、樣本數n = 25下,壽命績效指標
的檢定力真實值( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 及MSE.........................................51
表3.19 在顯著水準α = 0.01、參數值λ = 0.1、樣本數n = 30 下,壽命績效指標
的檢定力真實值( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 及MSE.........................................52
表3.20 在顯著水準α = 0.05 、參數值λ = 0.1、樣本數n = 10 下,壽命績效指標
的檢定力真實值( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 及MSE.........................................53
表3.21 在顯著水準α = 0.05 、參數值λ = 0.1、樣本數n = 15 下,壽命績效指標
的檢定力真實值( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 及MSE.........................................54
表3.22 在顯著水準α = 0.05 、參數值λ = 0.1、樣本數n = 20 下,壽命績效指標
的檢定力真實值( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 及MSE.........................................55
表3.23 在顯著水準α = 0.05 、參數值λ = 0.1、樣本數n = 25下,壽命績效指標
的檢定力真實值( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 及MSE.........................................56
表3.24 在顯著水準α = 0.05 、參數值λ = 0.1、樣本數n = 30 下,壽命績效指標
的檢定力真實值( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 及MSE.........................................57
表3.25 在α = 0.01、參數值β = 0.1、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下, L C
之信賴區間的平均信賴水準1−αˆ .....................................................................58
表3.25(續) 在α = 0.01、參數值β = 0.1、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下,
L C 之信賴區間的平均信賴水準1−αˆ ...............................................................59
表3.26 在α = 0.05、參數值β = 0.1、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下, L C
之信賴區間的平均信賴水準1−αˆ .....................................................................60
表3.26(續) 在α = 0.05、參數值β = 0.1、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下,
L C 之信賴區間的平均信賴水準1−αˆ ...............................................................61
表3.27 在α = 0.01、參數值β = 1、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下, L C 之
信賴區間的平均信賴水準1−αˆ .........................................................................62
表3.27(續) 在α = 0.01、參數值β = 1、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下,
L C 之信賴區間的平均信賴水準1−αˆ ...............................................................63
表3.28 在α = 0.05、參數值β = 1、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下, L C 之
信賴區間的平均信賴水準1−αˆ .........................................................................64
表3.28(續) 在α = 0.05 、參數值β = 1、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下,
L C 之信賴區間的平均信賴水準1−αˆ ...............................................................65
表3.29 在α = 0.01、參數值β =10 、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下, L C
之信賴區間的平均信賴水準1−αˆ .....................................................................66
表3.29(續) 在α = 0.01、參數值β =10、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下,
L C 之信賴區間的平均信賴水準1−αˆ ...............................................................67
表3.30 在α = 0.05、參數值β =10、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下, L C
之信賴區間的平均信賴水準1−αˆ .....................................................................68
表3.30(續) 在α = 0.05、參數值β =10、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下,
L C 之信賴區間的平均信賴水準1−αˆ ...............................................................69
表4.1 在顯著水準α = 0.01下, 2 (2(k −1)) α χ 、Canal近似方法及Wilson-Hilferty
近似方法的對應值................................................................................................................86
表4.2 在顯著水準α = 0.05 下, 2 (2(k −1)) α χ 、Canal近似方法及Wilson-Hilferty
近似方法的對應值..............................................................................................87
表4.3 在α = 0.01、參數值γ = 0、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下, L C 之
信賴區間的平均信賴水準1−αˆ .........................................................................88
表4.3(續) 在α = 0.01、參數值γ = 0 、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下,
L C 之信賴區間的平均信賴水準1−αˆ ...............................................................89
表4.4 在α = 0.05、參數值γ = 0、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下, L C 之
信賴區間的平均信賴水準1−αˆ .........................................................................90
表4.4(續) 在α = 0.05 、參數值γ = 0 、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下,
L C 之信賴區間的平均信賴水準1−αˆ ...............................................................91
表4.5 在α = 0.01、參數值γ = 5、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下, L C 之
信賴區間的平均信賴水準1−αˆ .........................................................................92
表4.5(續) 在α = 0.01、參數值γ = 5、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下, L C
之信賴區間的平均信賴水準1−αˆ .....................................................................93
表4.6 在α = 0.05、參數值γ = 5、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下, L C 之
信賴區間的平均信賴水準1−αˆ .........................................................................94
表4.6(續) 在α = 0.05 、參數值γ = 5、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下,
L C 之信賴區間的平均信賴水準1−αˆ ...............................................................95
表4.7 在α = 0.01、參數值γ = 10 、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下, L C
之信賴區間的平均信賴水準1−αˆ .....................................................................96
表4.7(續) 在α = 0.01、參數值γ = 10、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下,
L C 之信賴區間的平均信賴水準1−αˆ ...............................................................97
表4.8 在α = 0.05、參數值γ = 10 、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下, L C
之信賴區間的平均信賴水準1−αˆ .....................................................................98
表4.8(續) 在α = 0.05、參數值γ = 10、目標值= 0.35 L C 和下規格界限L = 1下,
L C 之信賴區間的平均信賴水準1−αˆ ...............................................................99

圖目錄
圖3.1 Gompertz分配之機率密度函數圖..............................................................11
圖3.2 Gompertz分配之故障率函數圖..................................................................11
圖3.3 β 與SSE的關係圖........................................................................................33
圖3.4 在顯著水準α = 0.01、參數值λ = 1、樣本數n = 10 下,壽命績效指標的
檢定力( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 之圖形..........................................................38
圖3.5 在顯著水準α = 0.01、參數值λ = 1、樣本數n = 15 下,壽命績效指標的
檢定力( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 之圖形..........................................................39
圖3.6 在顯著水準α = 0.01、參數值λ = 1、樣本數n = 20 下,壽命績效指標的
檢定力( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 之圖形..........................................................40
圖3.7 在顯著水準α = 0.01、參數值λ = 1、樣本數n = 25下,壽命績效指標的
檢定力( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 之圖形..........................................................41
圖3.8 在顯著水準α = 0.01、參數值λ = 1、樣本數n = 30 下,壽命績效指標的
檢定力( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 之圖形..........................................................42
圖3.9 在顯著水準α = 0.05 、參數值λ = 1、樣本數n = 10 下,壽命績效指標的
檢定力( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 之圖形..........................................................43
圖3.10 在顯著水準α = 0.05 、參數值λ = 1、樣本數n = 15 下,壽命績效指標的
檢定力( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 之圖形..........................................................44
圖3.11 在顯著水準α = 0.05 、參數值λ = 1、樣本數n = 20 下,壽命績效指標的
檢定力( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 之圖形..........................................................45
圖3.12 在顯著水準α = 0.05 、參數值λ = 1、樣本數n = 25下,壽命績效指標的
檢定力( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 之圖形..........................................................46
圖3.13 在顯著水準α = 0.05 、參數值λ = 1、樣本數n = 30 下,壽命績效指標的
檢定力( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 之圖形..........................................................47
圖3.14 在顯著水準α = 0.01、參數值λ = 0.1、樣本數n = 10 下,壽命績效指標的
檢定力( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 之圖形..........................................................48
圖3.15 在顯著水準α = 0.01、參數值λ = 0.1、樣本數n = 15 下,壽命績效指標的
檢定力( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 之圖形..........................................................49
圖3.16 在顯著水準α = 0.01、參數值λ = 0.1、樣本數n = 20 下,壽命績效指標
的檢定力( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 之圖形.....................................................50
圖3.17 在顯著水準α = 0.01、參數值λ = 0.1、樣本數n = 25下,壽命績效指標
的檢定力( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 之圖形.....................................................51
圖3.18 在顯著水準α = 0.01、參數值λ = 0.1、樣本數n = 30 下,壽命績效指標
的檢定力( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 之圖形.....................................................52
圖3.19 在顯著水準α = 0.05 、參數值λ = 0.1、樣本數n = 10 下,壽命績效指標
的檢定力( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 之圖形.................................................................53
圖3.20 在顯著水準α = 0.05 、參數值λ = 0.1、樣本數n = 15 下,壽命績效指標
的檢定力( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 之圖形.....................................................54
圖3.21 在顯著水準α = 0.05 、參數值λ = 0.1、樣本數n = 20 下,壽命績效指標
的檢定力( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 之圖形.....................................................55
圖3.22 在顯著水準α = 0.05 、參數值λ = 0.1、樣本數n = 25下,壽命績效指標
的檢定力( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 之圖形.....................................................56
圖3.23 在顯著水準α = 0.05 、參數值λ = 0.1、樣本數n = 30 下,壽命績效指標
的檢定力( ) 0 P c 與模擬平均值ˆ( )
0 P c 之圖形.....................................................57
參考文獻 參考文獻
[1] Balakrishnan, N. and Cohen, C. A. (1991), Order Statistics and
Inference, Academic Press, Inc.
[2] Boyles, R. A. (1991), The Taguchi capability index. Journal of
Quality Technology, 23, pp. 17-26.
[3] Canal, L.(2005), A normal approximation for the chi-square
distribution, Computational Statistics & Data Analysis, 48,
pp.803-808
[4] Chan, L. K., Cheng, S. W. and Spiring, F. A. (1988), A New
Measure of Process Capability: pm C , Journal of Quality Technology,
20(3), pp. 162-175.
[5] Chen, Z. (1997), Parameter estimation of the Gompertz population,
Biometrical Journal, 39, pp. 117-124.
[6] Clement, J. A. (1989), Process capability calculations for
non-normal distribution, Quality Progress, 22, pp. 95-100.
[7] Cohen, A. C. (1963), Progressively censored samples in the life
testing, Technometrics, 5, pp. 327-339.
[8] Hogg, R.V., McKean, J.W. and Craig, A.T. (2005), Introduction to
Mathematical Statistics, sixth ed., Pearson Prentice Hall, Pearson
Education, Inc.
[9] Hong, C.W., Wu, J.W. and Cheng, C.H. (2007), Computational
procedure of performance assessment of lifetime index of
businesses for the Pareto lifetime of lifetime model with the right
type II censored sample, Applied Mathematics and Computation,
184, pp. 336-350.
[10] Hong, C.W., Wu, J.W. and Cheng, C.H. (2008), Computational
procedure of performance assessment of Pareto lifetime businesses
based on confidence interval, Applied Soft Computing, 8, pp.
698-705.
[11] Johnson, N.L., Kotz, S. and Balakrishnan, N.(1994), Continuous
Univariate Distribution, second ed., Vol.1, John Wiley & Sons,
Inc., New York.
[12] Juran, J. M. (1974), Journal Quality Control Handbook, third
Edition, McGraw-Hill, New York, N.Y.
[13] Kane, V. E. (1986), Process capability indices, Journal of Quality
Technology, 18, pp. 41-52.
[14] Lawless, J. F. (1971), A prediction problem concerning samples
form the exponential distribution with application in life testing,
Technometrics, 13, pp. 725-730
[15] Lawless, J. F. (2003), Statistical models & methods for Lifetime
Data, (2nded) New York, John Wiley.
[16] Lee, E. T. (1980), Statistical method for survival data analysis,
Lifetime Learning Publication, Belmont.
[17] Liu, P. H. and Chen, F. L. (2006), Process capability analysis of
non-normal process data using the Burr XII distribution,
International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 27,
pp. 975-984.
[18] Montgomery, D. C. (1985), Introduction to Statistical Quality
Control, John Wiley & Sons, New York.
[19] Pearn, W. L. and Kotz, S. and Johnson, N. L. (1992).
Distributional and inferential properties of process capability
indices. Journal of Quality Technology, 24(4), pp. 216-233.
[20] Pearn, W. L. and Chen, K. S. (1997), Capability indices for
non-normal distributions with an application in electrolytic
capacitor manufacturing, Microelectro Reliability, 37(12), pp.
1853-1858.
[21] Wu, J. W., and Li, P. L.(2003), Optimal parameter estimation of
the extreme value distribution based on a type II censored sample,
Communications in Statistics Theory and Methods, 32, pp.
533-554.
[22] Wu, J. W., Hong, C. W. and Cheng, C. H. (2007,a), Quality
performance assessment system for Weibull lifetime product,
Journal of National Defense Management, 28, 101-110.
[23] Wu, J, W., Lee, H. C. and Lei C. L. (2007,b), Computational
testing algorithmic procedure of assessment for lifetime
performance index of products with two-parameter exponential
distribution, Applied Mathematics and Computation, 190, pp.
116–125.
[24] Zehna, P.W.(1966), Invariance of maximum likelihood estimation,
Annals of Mathematical Statistics, 37, 744.
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