我們使用歐拉角（ Euler Angles ）推導出了一根具有等向性彎曲剛度及自發曲率但無自發扭曲的均勻彈性桿之形狀方程，並且研究了螺旋解在外力及外力矩下的彈性性質及其穩定性，以及要形成螺旋桿的邊界條件。我們推導出判斷螺旋桿穩定性的判據。我們發現外力和外力矩一階導數為零的地方，和穩定特徵值變號的地方相同，並且負值的外力矩傾向讓螺旋不穩定。當能量出現自我交岔的行為時，我們發現到一次性伸長跳躍現象應該發生在交岔點上，並且討論了一般實驗中一次性伸長跳躍現象發生於其他地方的原因。
    我們利用布朗動力學研究了在有限溫度下具有自發曲率的二維半柔軟生物高分子的力學性質。在我們的模型中，當外力超過0.03時，力跟伸長將成線性關係，即外力將佔主導地位而熵效應較小。因此若要考慮熵效應，在我們的模型中，外力的範圍要小於0.03。

We derive the shape equations in terms of Euler angles for an uniform elastic rod with isotropic bending rigidity and spontaneous curvatures but free of spontaneous torsion, and study within this model the elasticity and stability of a helical filament under uniaxial force and torque. We study the boundary conditions required to form a helical rod. We derive the criterion to determine the stability of a helix. We find that the first derivative of force and torque always shares the same zeroes with   one of the stability eigenvalues. We find that a negative torque tends to make a helix unstable. The energy-force curve is self-crossed when the rod undergoes a transition. Moreover, we find that the crossover point always gives the lowest energy under a given force, therefore, in principle, the transition should occur at the crossover point, and we give a discussion on the reason why it happens at other point in experiments. 
    We use Browian dynamics to study the elasticity of a semiflexible biopolymer with spontaneous curvature under a uniaxial force at finite temperature. We find that in our model, when the applied force exceeds 0.03, the relationship between force and extension is linear, i.e. force dominates the elastics. Therefore, if one wants to consider the effects of entropy in our model, the applied force should be smaller than 0.03.

目錄

第1章 簡介	1
1-1 歷史簡介	1
1-2 相關工作回顧	2
1-3 動機與目的	3
1-4 主要內容	4
第2章 模型	5
2-1 數學準備	5
2-1-1 Frenet-Serret 方程組	5
2-1-2 推廣的 Frenet-Serret 方程組	9
2-2 一般模型	11
2-3 本工作所使用的模型	13
第3章 螺旋解	17
3-1 螺旋的表達式	17
3-2 GWLRC 模型下的螺旋解	18
3-3 邊界條件	20
3-4 穩定性條件	23
3-4-1 普通函數的極值判據	23
3-4-2 桿的穩定性	25
第4章 螺旋桿的彈性性質	27
4-1 固定外力矩時外力與伸長的關係	27
4-1-1 當外力矩   時，外力與伸長的關係	27
4-1-2 當外力矩   且   時，外力與伸長 的關係	31
4-1-3 當外力矩   時，外力與伸長的關係	32
4-2 固定外力時外力矩與伸長的關係	40
4-2-1 當   時，外力矩與伸長的關係	40
4-2-2 當   時，外力矩與伸長的關係	40
第5章 小結	48
第6章 簡介	51
6-1 簡介	51
6-2 動機與目的	52
6-3 主要內容	54
第7章 模擬方法及模型	55
7-1 布朗動力學演算法	55
7-2 模型	56
7-3 約化單位 (reduced units)	58
7-4 物理量的計算	59
第8章 調試與結果	62
8-1 參數調試	62
8-1-1 總能量	63
8-1-2 最後一顆粒子的   座標 xend	64
8-1-3 回轉半徑	65
8-1-4 樣品的平均形狀	67
8-1-5 端點距離 rend	69
8-2 模擬結果	71
第9章 結論	76
參考文獻	78
 
圖表目錄

圖 (2-1) 兩種法向量轉變方向的方式	6
圖 (2-2) 空間中的曲線 [11]	7
圖 (2-3) Frenet-Serret 方程組和轉動座標系的類比	8
圖 (2-4) 一片扭曲細長帶的略圖 [14] 	11
圖 (2-5) 三個歐拉角  ， ，和   的選取方式 [12]	13
圖 (3-1) 一根右手螺旋 [26]	18
圖 (4-1) 無外力矩時的螺旋彈性性質	30
圖 (4-2) (a) (b) 固定外力矩時的螺旋彈性性質	33
圖 (4-2) (c) (d) 固定外力矩時的螺旋彈性性質	34
圖 (4-2) (e)    固定外力矩時的螺旋彈性性質	36
圖 (4-3) 「外力和伸長關係圖」與「穩定特徵值和伸長關係圖」的對應	37
圖 (4-4) 能量和外力關係圖	39
圖 (4-5) 固定外力時的螺旋彈性性質	42
圖 (4-6) 「外力矩和伸長關係圖」與「外力矩和能量關係圖」的對應	46
圖 (4-7) 固定外力時的螺旋彈性性質	45
圖 (4-8) 固定外力時的螺旋彈性性質	47
圖 (7-1) 布朗動力學計算主要流程圖	57
圖 (7-2) 模型示意圖	58
圖 (8-1) 總能量圖	64
圖 (8-2) 觀測最後一顆粒子的   座標 xend	65
圖 (8-3) 回轉半徑圖	67
圖 (8-4) 不受外力的平均樣品形狀	68
圖 (8-5) 受到外力   後模型的平均形狀	69
圖 (8-6)   個樣品的端點距離平均值分佈	70
圖 (8-7) 模型的初始態	71
圖 (8-8) 外力和沿力方向的相對伸長關係圖	72
圖 (8-9) 不同溫度下，外力和沿力方向的相對伸長關係圖	73
圖 (8-10) 外力和沿力方向的相對伸長關係圖	74
圖 (8-11) 不同溫度下，外力和沿力方向的相對伸長關係圖	75

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