本研究係以一彈性樑為主架構，並以三次方非線性彈簧與線性阻尼模擬其懸吊鋼纜，以分析系統之非線性振動行為。其中，吾人採用多尺度法(Method of Multiple Scales)與正交化法(Orthogonality)來解析此系統之運動方程。由本研究的分析，發現此系統存在著3:1內共振特性，吾人也進一步探討其生成的條件及非線性懸吊之彈性樑的相關振動現象。
    本研究分別探討常見的四種邊界狀況之系統內共振(Internal Resonance，簡稱I.R.)分析，並分別激擾低模態(Lower Mode)跟高模態(Higher Mode)，且由Fix Points解(穩態頻率響應)及相位圖(Phase Plot)，來判斷系統之穩定性並觀察其非線性內共振現象。
    本文發現兩端為鉸接端之彈性樑，在第一模態和第三模態間具有3：1內共振現象，而本文也發現一端為鉸接一端為滾輪之彈性樑，在第一模態和第三模態也一樣具有3：1內共振現象；另外，本文也發現兩端為固定端與兩端為彈簧之彈性樑，在第二和第四模態也具有3：1內共振現象。對於這四種邊界狀況，皆發現存在非線性內共振
現象，因此在學術界或工程應用上，對這四種邊界狀況應注意產生內共振現象，以避免導致系統發散而產生不穩定現象。

The internal resonance (I.R.) of a Bernoulli-Euler Beam with nonlinear suspensions (cubic nonlinear springs) and with different end supports was studied in this thesis. The Bernoulli-Euler Beam is suspended by nonlinear springs (similar to Winkler Type Foundation) to the top ceiling. Four different types of boundary conditions are considered in the study, which are hinged-hinged, hinged-roller support, fixed-fixed, and spring-spring support, respectively. A simple Aerodynamic loading is included to simulate this suspension bridge vibration system. This research is to find the I.R. conditions for the boundary conditions aforementioned and subjected to Aerodynamic and simple harmonic loadings. The method of Multiple Scales (MOMS) is applied to get the conditions for I.R. The classical structural Dynamic analysis is also employed for finding mode shapes of the beam for different boundary conditions. By using the orthogonal properties, this problem can be deduced to a to a time domain ordinary differential equation. The I.R. condition for the cases studied can be determined analytically. The analytical predictions are confirmed by the Fixed Point plots and phase plots.
This research found that the 3:1 I.R. occurred in the case of hinged-hinged boundary conditions in the 1 and 3 modes.  The 3:1 I.R. also occurred in the case of hinged-roller boundary conditions in the 1 and 3 modes. The 3:1 I.R. occurred in the case of fixed-fixed boundary conditions in the 2 and 4 modes. The 3:1 I.R. occurred in the case of spring-spring boundary conditions in the 2 and 4 modes.

摘要………………………………………………………………………I
英文摘要……………………………………………………………III
目錄……………………………………………………………………IV
圖目錄…………………………………………………………………VI
第一章  緒論……………………………………………………………1
一、1 研究動機…………………………………………………1
一、2 文獻回顧…………………………………………………2
一、3 研究方法…………………………………………………5
第二章  系統理論模型之建立…………………………………………7
二、1非線性運動方程式之推導…………………………………7
二、2 無因次之非線性運動方程式……………………………8
第三章  非線性系統之解析解………………………………………10
三、1 非線性運動方程式之解析解……………………………10
三、2 解耦之頻率響應解………………………………………12
範例一…………………………………………………………..12
範例二…………………………………………………………..24
範例三…………………………………………………………..36
範例四…………………………………………………………..49
第四章  結果與討論…………………………………63
第五章  結論…………………………………………………………69
參考文獻………………………………………………………………70
附錄(一)  系統之各項無因次化參數設定…………………………71
附錄(二)  運動方程式各項係數……………………………………72
附錄(三)  範例三、四正交化之係數………………………………73
論文簡要版……………………………………………………………112


圖目錄

圖 1 兩端為鉸接之主體架構………………………………..………..75
圖 2 兩端為鉸接及滾輪之主體架構……………………..……..……76
圖 3 兩端為固定端之主體架構…………………..……………....77
圖 4 兩端為彈簧之主體架構………………………...…………...78
圖 5 激擾第一模態之Fixed Point圖(範例一之第一模態)…………..79
圖 6 激擾第一模態之Fixed Point圖(範例一之第三模態)…..………79
圖 7 激擾第一模態之Fixed Point圖(範例一).......…………………...80
圖 8 激擾第一模態之第一模態3D圖(sig=0,ro1=0.06582)………...80
圖 9 激擾第一模態之第一模態3D圖(sig=-3,ro1=0.02)……………..81
圖 10 激擾第一模態之第三模態3D圖(sig=0,ro3=0.002766).……..81
圖 11 激擾第一模態之第三模態3D圖(sig=-3,ro3=0.001)…………..82
圖 12 激擾第三模態之Fixed Point圖(範例一之第三模態)………....82
圖 13 激擾第三模態之Fixed Point圖(範例一之第一模態)………....83
圖 14 激擾第三模態之Fixed Point圖(範例一)……………………....83
圖 15 激擾第三模態之第一模態3D圖(sig=5,ro1=0.17354)……….84
圖 16 激擾第三模態之第一模態3D圖(sig=0,ro1=0.05)…………..84
圖 17 激擾第三模態之第三模態3D圖(sig=0,ro3= 0.01231)……….85
圖 18 激擾第三模態之第三模態3D圖(sig=-0.5,ro3=0.01)………….85
圖 19 激擾第一模態之Fixed Point圖(範例二之第一模態)………....86
圖 20 激擾第一模態之Fixed Point圖(範例二之第三模態)………....86
圖 21 激擾第一模態之Fixed Point圖(範例二)…………………..…..87
圖 22 激擾第一模態之第一模態3D圖(sig=0,ro1= 0.067859)……...87
圖 23 激擾第一模態之第一模態3D圖(sig=-5,ro1=0.01)……………88
圖 24 激擾第一模態之第三模態3D圖(sig=0,ro3=0.002766).............88
圖 25 激擾第一模態之第三模態3D圖(sig=-1,ro3= 0.0002).……….89
圖 26 激擾第三模態之Fixed Point圖(範例二之第三模態)………....89
圖 27 激擾第三模態之Fixed Point圖(範例二之第一模態)………....90
圖 28 激擾第三模態之Fixed Point圖(範例二)……………………....90
圖 29 激擾第三模態之第一模態3D圖(sig=0.72,ro1= 0.1211)……...91
圖 30 激擾第三模態之第一模態3D圖(sig=-1,ro1=0.02)……………91
圖 31 激擾第三模態之第三模態3D圖(sig=0,ro3=0.0123)……...…..92
圖 32 激擾第三模態之第三模態3D圖(sig=-1,ro3= 0.002)………….92
圖 33 激擾第二模態之Fixed Point圖(範例三之第二模態)................93
圖 34 激擾第二模態之Fixed Point圖(範例三之第四模態)…............93
圖 35 激擾第二模態之Fixed Point圖(範例三)....................................94
圖 36 激擾第二模態之第二模態3D圖(sig=0.5,ro2=0.12)..................94
圖 37 激擾第二模態之第二模態3D圖(sig=-2,ro2=0.02).…...............95
圖 38 激擾第二模態之第四模態3D圖(sig=0.17,ro4=0.010014)........95
圖 39 激擾第二模態之第四模態3D圖(sig=-1,ro4=0.001)..................96
圖 40 激擾第四模態之Fixed Point圖(範例三之第四模態)................96
圖 41 激擾第四模態之Fixed Point圖(範例三之第二模態)................97
圖 42 激擾第四模態之Fixed Point圖(範例三)....................................97
圖 43 激擾第四模態之第二模態3D圖(sig=2,ro2= 0.1382687)..........98
圖 44 激擾第四模態之第二模態3D圖(sig=-3,ro2=0.03)....................98
圖 45 激擾第四模態之第四模態3D圖(sig=1.85,ro4= 0.01917).........99
圖 46 激擾第四模態之第四模態3D圖(sig=-1,ro4=0.01)....................99
圖 47 激擾第二模態之Fixed Point圖(範例四之第二模態)…..........100
圖 48 激擾第二模態之Fixed Point圖(範例四之第四模態)..............100
圖 49 激擾第二模態之Fixed Point圖(範例四)…..............................101
圖 50 激擾第二模態之第二模態3D圖(sig=0,ro2= 0.1465)..............101
圖 51 激擾第二模態之第二模態3D圖(sig=-5,ro2=0.05)..................102
圖 52 激擾第二模態之第四模態3D圖(sig=0,ro4= 0.0170387)…....102
圖 53 激擾第二模態之第四模態3D圖(sig=-4,ro4=0.01)..................103
圖 54 激擾第四模態之Fixed Point圖(範例四之第四模態)…..........103
圖 55 激擾第四模態之Fixed Point圖(範例四之第二模態)………..104
圖 56 激擾第四模態之Fixed Point圖(範例四)..................................104
圖 57 激擾第四模態之第二模態3D圖(sig=0,ro2= 0.08972)…........105
圖 58 激擾第四模態之第二模態3D圖(sig=-3,ro2=0.04)..................105
圖 59 激擾第四模態之第四模態3D圖(sig=0,ro4=0.02858).............106
圖 60 激擾第四模態之第四模態3D圖(sig=-5,ro4=0.005)................106
圖 61 sig=0激擾第一模態之相位圖(範例一之第一模態)….……..107
圖 62 sig=0激擾第一模態之相位圖(範例一之第一模態)….……..107圖 63 sig=0激擾第三模態之相位圖(範例一之第三模態)….……..108
圖 64 sig=0激擾第三模態之相位圖(範例一之第三模態)….……..108
圖 65 sig=0激擾第一模態之相位圖(範例二之第一模態)….……..109
圖 66 sig=0激擾第一模態之相位圖(範例二之第一模態)….……..109
圖 67 sig=0激擾第三模態之相位圖(範例二之第三模態)….……..110
圖 68 sig=0激擾第三模態之相位圖(範例二之第三模態)….……..110
圖 69 sig=0.238激擾第二模態之相位圖(範例四之第二模態)…..111
圖 70 sig=0.238激擾第二模態之相位圖(範例四之第二模態)…..111

[1] Malatkar, Pramod, Nonlinear Vibrations of Cantilever Beams and Plates, Ph.D. Thesis, Virginia Polytechnic Institute and State University, 2003.
[2] Nayfeh, A.H. and Mook, Dean T., Nonlinear Oscillations, John Wiley & Sons, Inc., New York, pp.417-424, 1979.
[3] Rossikhin,Y. A. and Shitikova, M.V., “Analysis of Nonlinear Free Vibrations of Suspension Bridges,” Journal of Sound and Vibration, Vo. 186, No. 3, pp.369-393,1995.
[4] Van Horssen,W. T. and Boertjens, G. J., “On Mode Interactions for a Weakly Nonlinear Beam Equation,” Nonlinear Dynamics 17, pp.23-40,1998.
[5] Goncalves, P. J. P., Brennan, M. J. ,and Elliott, S.J., “Numerical evaluation of high-order modes of vibration in uniform Euler-Bernoulli beams,” Journal of Sound and Vibration 307, pp.1035-1039, 2007.
[6] Abe, A., “On non-linear vibration analyses of continuous systems with quadratic and cubic non-linearities,” International Journal of Non-Linear Mechanics 41, pp.873-879, 2006.
[7] Cai, C. S. , Wu, W. J. ,and Shi, X. M., “Cable Vibration Reduction with a Hung-on TMD System. Part I: Theoretical Study,” Journal of Vibration and Control, Vo. 12, No. 7, pp.801-814, 2006.
[8] Wu, W. J. and Cai, C. S., “Cable Vibration Reduction with a Hung-on TMD System. Part II :Parametric Study,” Journal of Vibration and Control, Vo. 12, No. 8, pp.881-899,2006.