在我的論文中，會先介紹我所使用的第一原理計算工具CASTEP，以及了解二倍頻係數程式與其所採用的公式對照，以及它如何使用CASTEP的光學計算結果獲得二倍頻係數，進而使我了解要如何使用這光學計算結果應用在我要做的計算全頻譜的三倍頻係數程式，並且介紹程式中所使用到的近似或是轉換公式，最後再與其他研究群所做的結果做比較。

In my thesis, I will first introduce CASTEP, a first principle calculation program. Then I will describe how I learned the relation between the equation of second harmonic generation (SHG) and the tool SHG code, and how to use it to obtain the SHG coefficients form a CASTEP optics calculation result. Finally, I use this experience to implement the equation of the third harmonic generation (THG) into a computer code. I will introduce the approximate or conversion formulas that I use in my code, and compare my results with them from other research groups.

目錄
中文摘要  i
英文摘要  ii
目錄      iii
表目錄    v
圖目錄    vi

第一章：簡介	1
1.1前言	1
1.2簡介	2
1.3晶體中的光學非線性	3
1.3.1非線性光學現象的研究起源	3
1.3.2光的偏極化（Polarization）與極化率（Susceptibility）	3
1.3.3倍頻的應用	4
1.4 第一原理計算工具CASTEP & CASTEP光學計算介紹	5

第二章：二倍頻係數程式改進	6
2.1二倍頻公式介紹	6
2.1 二倍頻公式與程式對應	8
2.2完整重新推導二倍頻係數公式	13
2.2.1「二倍頻係數公式整理流程圖」	13
2.2.2推導程式中所使用的二倍頻係數公式	14
2.2.2.0釐清S.N.Rashkeev公式與林峧公式	14
2.2.2.1分解S.N.Rashkeev公式	16
2.2.2.2整理公式 	20
2.2.2.3整理公式 	23
2.2.2.4整理公式 	33
2.2.2.5合併分解後的公式：	39
2.3修正原程式﹝NewSHG﹞內計算公式	42
2.4新版NewSHG程式介紹	44
2.5使用新舊程式算相同材料並作比較結果	52

第三章：三倍頻係數程式製作	55
3.1二階非線性光學極化率相關文獻介紹以及程式公式選定	55
3.2 三倍頻係數程式中所使用的相關計算方法介紹	63
3.2.1 Gaussian Smearing	63
3.2.2 Kramer-Kronig Relation	67
3.3與頻率相關的三倍頻係數率程式介紹	69
3.3.1與頻率相關的三倍頻係數程式流程圖	69
3.3.2與頻率相關的三倍頻係數程式介紹	70
3.4 與頻率相關的三倍頻係數程式計算結果比較	81

第四章：總結論與未來方向	90

參考文獻	91
附錄A 材料ZnSe的收斂性測試	92
附錄B三倍頻公式驗證	96

表目錄
表2.1.1  程式碼與數學公式對照表	9
表2.1.2  程式碼Virtual Hole與paper公式對照表	10
表2.1.3  程式碼Virtual Electron與paper公式對照表	11
表2.1.4  程式碼Two Bands與paper公式對照表	12
表2.3.1  程式碼與數學公式對照表	42
表2.3.2  新舊程式碼與新公式對照Virtual Hole部分	42
表2.3.3  新舊程式碼與新公式對照Virtual Electron部分	43
表2.5.1  新舊程式全方向計算結果﹝SiO2_NCP﹞	52
表2.5.2  新舊程式全方向計算結果﹝SiO2_USP﹞	52
表2.5.3  新舊程式全方向計算結果﹝BBO﹞	53
表2.5.4  新舊程式全方向計算結果﹝LBO﹞	53
表2.5.5  新舊程式全方向計算結果﹝CsGeBr3﹞	53
表3.1.1  轉換Virtual Electron公式[7]到Virtual Hole	58
表3.1.2  Three State公式	61
表3.1.3  Virtual Electron公式	61
表3.1.4  Virtual Hole1公式	62
表3.1.5  Virtual Hole2公式	62
表3.1.6  Virtual Hole3公式	62
表3.4.1  THG計算材料的參數設定	81

圖目錄
圖2.0.1  SHG躍遷示意圖	7
圖2.1.1  程式碼 NewSHG計算Virtual Hole部分	8
圖2.2.1  二倍頻係數公式整理流程圖	13
圖2.4.1  程式碼 使用者輸入 剪刀值、計算方向	45
圖2.4.2  程式碼 使用者輸入 輸出單位、格式	45
圖2.4.3  程式碼 讀取K-points、weights、eigenvalues和計算c0	46
圖2.4.4  程式碼 讀取HOMO & LUMO	46
圖2.4.5  程式碼 設定Valence band	47
圖2.4.6  程式碼 讀取momentum matrix	47
圖2.4.7  程式碼 做剪刀修正	47
圖2.4.8  程式碼 NewSHG計算Virtual Hole	48
圖2.4.9  程式碼 動量矩陣連乘	49
圖2.4.10 程式碼 計算結果係數的處理	50
圖2.4.11 程式碼 計算全方向的設定	50
圖2.4.12 程式碼 輸出樣式﹝畫面﹞	51
圖2.4.13 程式碼 輸出樣式﹝輸出檔﹞	51

圖3.1.1   公式[6]	55
圖3.1.2   公式[6]	56
圖3.1.3  三倍頻係數公式各貢獻躍遷示意圖	57
圖3.1.4   公式[7]	58
圖3.1.5   公式[7]	58
圖3.1.6  三階非現線性光學極化率係數公式[8]	59
圖3.1.7  三階非現線性光學極化率係數公式[8]	60
圖3.2.1.1 函數模糊化示意圖	63
圖3.2.1.2 程式模 糊化示意圖	65
圖3.2.1.3 程式碼 模糊化	66
圖3.2.2.1 程式碼 Kramer-Kronig Relation	68
圖3.3.2.1 程式碼 input_eV開關	70
圖3.3.2.2 程式碼 使用者輸入計算方向	70
圖3.2.2.3 程式碼 計算方向判定	71
圖3.2.2.4 程式碼 輸出檔設定	71
圖3.2.2.5 程式碼 呼叫副程式thg	72
圖3.2.2.6 程式碼 使用者輸入smearing_width、tail、npts	72
圖3.2.2.7 程式碼 能譜範圍設定	73
圖3.2.2.8 程式碼 使用者輸入參數畫面輸出	73
圖3.2.2.9 程式碼 kpoints、spin迴圈	74
圖3.2.2.10 程式碼Eij計算	75
圖3.2.2.11 程式碼 動量矩陣連乘	75
圖3.2.2.12 各階張量旋轉公式	75
圖3.2.2.13 程式碼 張量旋轉	76
圖3.2.2.14 程式碼 Three-State Term1結果	77
圖3.2.2.15 程式碼 Three-State Term2結果	78
圖3.2.2.16 程式碼 Three-State結果	78
圖3.2.2.17 程式碼 THG各項計算結果(虛部)	78
圖3.2.2.18 程式碼 係數的處理	79
圖3.2.2.19 程式碼Kramer-Kronig Relation	79
圖3.2.2.20 程式碼 輸出(畫面)	79
圖3.2.2.21 程式碼 輸出(輸出檔)	80
圖3.4.1 材料ZnSe(1111)的THG計算結果	83
圖3.4.2 材料ZnSe(1111)的THG虛部計算結果	83
圖3.4.3 材料ZnSe(1111)、ZnSe(1212)的THG實部虛部paper結果[7]	84
圖3.4.4 材料ZnSe(1111)、ZnSe(1212)的THG實部虛部計算結果	84
圖3.4.5 材料ZnSe(1111)、ZnSe(1212)的THG paper結果[7]	85
圖3.4.6 材料ZnSe(1111)、ZnSe(1212)的THG計算結果	85
圖3.4.7 材料ZnTe(1111)、ZnTe(1212)的THG實部虛部paper結果[7]	86
圖3.4.8 材料ZnTe(1111)、ZnTe(1212)的THG實部虛部計算結果	86
圖3.4.9 材料ZnTe(1111)、ZnTe(1212)的THG paper結果[7]	87
圖3.4.10 材料ZnTe(1111)、ZnTe(1212)的THG計算結果	87
圖3.4.11 材料CdTe(1111)、CdTe(1212)的THG實部虛部paper結果[7]	88
圖3.4.12 材料CdTe(1111)、CdTe(1212)的THG實部虛部計算結果	88
圖3.4.13 材料CdTe(1111)、CdTe(1212)的THG paper結果[7]	89
圖3.4.14 材料CdTe(1111)、CdTe(1212)的THG計算結果	89

附錄圖A.1 材料ZnSe對Empty Band收斂性測試	92
附錄圖A.2 材料ZnSe對Energy Cutoff收斂性測試	93
附錄圖A.3 材料ZnSe對K point取樣收斂性測試	94

Ref.1.	Franken, P. A., A. E. Hill, C. W. Peter, and G. Weinreich, et al. Phys. Rev. Letters 7, 118 （1961）.
Ref.2.	材料模擬實驗室李明憲研究群Group Teaching
Ref.3.	Sergey N. Rashkeev, Walter R. L. Lambrecht, and Benjamin Segall, Phys. Rev. B 57, 7 （1998）
Ref.4.	林峧  碩士論文
Ref.5.	楊智凱碩士論文
Ref.6.	Claudio Aversa,  J.E.Sipe,  Phys. Rev. B 52, 20 （1995） 
Ref.7.	Ed Ghrhramani, D.J.Moss, J.E.Sipe, Phys. Rev. B 43, 12 （1991）
Ref.8.	Misao Murayama, Takashi Nakayama, Phys. Rev. B 52, 7 （1995）
Ref.9.	維基百科「常態分佈」
Ref.10.	洪連輝、劉立基、魏榮君 譯，固態物理學導讀，高立圖書有限公司