製程能力指標被製造商廣泛應用在品質監控方面，以評估製程能力是否合乎水準。大多數的製程能力指標都是假設產品的壽命服從常態分配，然而現實上許多產品的壽命是服從非常態分配。對於產品壽命之相關分配，在實務上可利用壽命績效指標C_L來衡量產品的壽命績效，其中L為規格下界。在壽命試驗中常因時間、人力和成本的考量，而無法取得完整的樣本資料，此時可使用設限樣本資料。
　　本文分為兩部分，第一部分探討在逐步右型二設限樣本下，利用貝式估計量評估具有Gompertz分配之產品的壽命績效指標；第二部分探討在雙型二設限樣本下，利用不偏估計量評估具有Burr X分配之產品的壽命績效指標。除了建立相關的檢定程序與信賴區間外，並針對壽命績效指標的檢定力與信賴區間進行蒙地卡羅模擬比較其真實值，最後透過實例分析驗證。利用此檢定程序與信賴區間，可提供製造商評估產品品質是否達到顧客所要求的水準。

Process capability indices (PCIs) have been widely used in quality monitoring by many manufacturing industries. Most PCIs assume that quality characteristic has a normal distribution. However, the lifetime of many products frequently possesses non-normal distribution. In practice, the lifetime performance index C_L is utilized to measure lifetime performance for products, where L is the lower specification limit. In lifetime testing experiments, we may not be able to obtain a complete sample due to time limitation or other restrictions. Therefore, censored samples arise in practice.
　　This research has two parts. First, it constructs a Bayesian estimator of PCIs based on the progressively right type II censored sample from the Gompertz distribution. Second, it constructs a unbiased estimator of PCIs based on the doubly type II censored sample from the Burr X distribution. The estimation of PCIs are then utilized to develop a hypothesis testing procedure and the confidence interval in the condition of known L, and using Monte Carlo simulation to compare the true value. The purchasers can then employ the new hypothesis and the confidence interval to determine whether the lifetime performance of products adhere to the required level.

目錄
第一章　緒論	1
1.1 前言	1
1.2 研究動機與目的	1
1.3 本文架構	2
第二章　文獻探討	4
2.1 製程能力指標的發展	4
2.2 設限樣本	6
第三章　在逐步右型二設限樣本下利用貝氏估計量評估具有Gompertz分配之產品的壽命績效指標	8
3.1 產品的壽命績效指標與製程良率	8
3.2 壽命績效指標之貝氏估計量	10
3.3 壽命績效指標之檢定程序	13
3.4 壽命績效指標之檢定力與其模擬值比較	15
3.5 壽命績效指標之信賴區間	18
3.6 實例分析	22
第四章　在雙型二設限樣本下評估具有Burr X分配之產品的壽命績效指標	44
4.1 產品的壽命績效指標與製程良率	44
4.2 壽命績效指標之估計	45
4.3 壽命績效指標之檢定程序	46
4.4 壽命績效指標之檢定力與其模擬值比較	48
4.5 壽命績效指標之信賴區間	51
4.6 實例分析	54
第五章　結論與未來研究方向	89
5.1 結論	89
5.2 未來研究方向	90
參考文獻	91
 
表目錄
表3.1 壽命績效指標 C_L  與製程良率Pr	10
表3.2 被餵食未飽和飲食的老鼠之未罹患腫瘤的天數	22
表3.3 參數b、λ_hat 與SSE的對應值	23
表3.4 在顯著水準 α=0.01、α_0=0.5、c=0.1(0.1)0.9 及 m=2(1)65 下，具有Gompertz分配之產品壽命績效指標的臨界值。	25
表3.5 在顯著水準 α=0.05、α_0=0.5、c=0.1(0.1)0.9 及 m=2(1)65 下，具有Gompertz分配之產品壽命績效指標的臨界值。	27
表3.6 不同樣本個數以及設限樣本個數下所給定之逐步移除序列。	29
表3.7 在顯著水準 α=0.01、b=2、α_0=0.5、β_0=3.5、n=10、m=5 以及不同的設限序列下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值及 SMSE 。	30
表3.8 在顯著水準 α=0.01、b=2、α_0=0.5、β_0=3.5、n=15、m=5 以及不同的設限序列下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值及 SMSE 。	31
表3.9 在顯著水準 α=0.01、b=2、α_0=0.5、β_0=3.5、n=15、m=10 以及不同的設限序列下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值及 SMSE。	32
表3.10 在顯著水準 α=0.01、b=2、α_0=0.5、β_0=3.5、n=20、m=5 以及不同的設限序列下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值及 SMSE。	33
表3.11 在顯著水準 α=0.01、b=2、α_0=0.5、β_0=3.5、n=20、m=10 以及不同的設限序列下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值及 SMSE。	34
表3.12 在顯著水準 α=0.01、b=2、α_0=0.5、β_0=3.5、n=20、m=15 以及不同的設限序列下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均及 SMSE。	35
表3.13 在顯著水準 α=0.05、b=2、α_0=0.5、β_0=3.5、n=10、m=5 以及不同的設限序列下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值及 SMSE。	36
表3.14 在顯著水準 α=0.05、b=2、α_0=0.5、β_0=3.5、n=15、m=5 以及不同的設限序列下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值及 SMSE。	37
表3.15 在顯著水準 α=0.05、b=2、α_0=0.5、β_0=3.5、n=15、m=10 以及不同的設限序列下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值及 SMSE。	38
表3.16 在顯著水準 α=0.05、b=2、α_0=0.5、β_0=3.5、n=20、m=5 以及不同的設限序列下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值及 SMSE。	39
表3.17 在顯著水準 α=0.05、b=2、α_0=0.5、β_0=3.5、n=20、m=10 以及不同的設限序列下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值及 SMSE。	40
表3.18 在顯著水準 α=0.05、b=2、α_0=0.5、β_0=3.5、n=20、m=15 以及不同的設限序列下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值及 SMSE。	41
表3.19 在 α=0.01、b=2、α_0=0.5、β_0=3.5、目標值 C_L=0.35 、規格下界 L=1 以及不同的設限序列下，壽命績效指標之信賴水準模擬平均值與SMSE。	42
表3.20 在 α=0.05、b=2、α_0=0.5、β_0=3.5、目標值 C_L=0.35 、規格下界 L=1 以及不同的設限序列下，壽命績效指標之信賴水準模擬平均值與SMSE。	43
表4.1 滾珠軸承之壽命時間	55
表4.2 參數θ、v_hat 與SSE的對應值	55
表4.3 在顯著水準 α=0.01、c=0.1(0.1)0.9 及 m=2(1)65 下，具有Burr X分配之產品壽命績效指標的臨界值，其中 m=n-r-s。	58
表4.4 在顯著水準 α=0.05、c=0.1(0.1)0.9 及 m=2(1)65 下，具有Burr X分配之產品壽命績效指標的臨界值，其中 m=n-r-s。	60
表4.5 不同樣本個數以及設限參數下所給定的移除序列。	62
表4.6 在顯著水準 α=0.01、θ=2 與設限參數 r=0、s=1 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值及 SMSE。	63
表4.7 在顯著水準 α=0.01、θ=2 與設限參數 r=0、s=2 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值及 SMSE。	64
表4.8 在顯著水準 α=0.01、θ=2 與設限參數 r=0、s=3 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值及 SMSE。	65
表4.9 在顯著水準 α=0.01、θ=2 與設限參數 r=1、s=1 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值及 SMSE。	66
表4.10 在顯著水準 α=0.01、θ=2 與設限參數 r=1、s=2 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值及 SMSE。	67
表4.11 在顯著水準 α=0.01、θ=2 與設限參數 r=1、s=3 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值及 SMSE。	68
表4.12 在顯著水準 α=0.01、θ=2 與設限參數 r=2、s=1 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值及 SMSE。	69
表4.13 在顯著水準 α=0.01、θ=2 與設限參數 r=2、s=2 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值及 SMSE。	70
表4.14 在顯著水準 α=0.01、θ=2 與設限參數 r=2、s=3 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值及 SMSE。	71
表4.15 在顯著水準 α=0.01、θ=2 與設限參數 r=3、s=1 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值及 SMSE。	72
表4.16 在顯著水準 α=0.01、θ=2 與設限參數 r=3、s=2 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值及 SMSE。	73
表4.17 在顯著水準 α=0.01、θ=2 與設限參數 r=3、s=3 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值及 SMSE。	74
表4.18 在顯著水準 α=0.05、θ=2 與設限參數 r=0、s=1 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值及 SMSE。	75
表4.19 在顯著水準 α=0.05、θ=2 與設限參數 r=0、s=2 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值及 SMSE。	76
表4.20 在顯著水準 α=0.05、θ=2 與設限參數 r=0、s=3 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值及 SMSE。	77
表4.21 在顯著水準 α=0.05、θ=2 與設限參數 r=1、s=1 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值及 SMSE。	78
表4.22 在顯著水準 α=0.05、θ=2 與設限參數 r=1、s=2 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值及 SMSE。	79
表4.23 在顯著水準 α=0.05、θ=2 與設限參數 r=1、s=3 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值及 SMSE。	80
表4.24 在顯著水準 α=0.05、θ=2 與設限參數 r=2、s=1 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值及 SMSE。	81
表4.25 在顯著水準 α=0.05、θ=2 與設限參數 r=2、s=2 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值及 SMSE。	82
表4.26 在顯著水準 α=0.05、θ=2 與設限參數 r=2、s=3 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值及 SMSE。	83
表4.27 在顯著水準 α=0.05、θ=2 與設限參數 r=3、s=1 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值及 SMSE。	84
表4.28 在顯著水準 α=0.05、θ=2 與設限參數 r=3、s=2 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值及 SMSE。	85
表4.29 在顯著水準 α=0.05、θ=2 與設限參數 r=3、s=3 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值及 SMSE。	86
表4.30 在 α=0.01、θ=0.01、目標值 C_L=0.35、規格下界 L=1 以及不同的設限序列下，壽命績效指標之信賴水準模擬平均值與SMSE。	87
表4.31 在 α=0.05、θ=0.01、目標值 C_L=0.35、規格下界 L=1 以及不同的設限序列下，壽命績效指標之信賴水準模擬平均值與SMSE。	88
 
圖目錄
圖3.1 參數b與SSE的關係圖	23
圖3.2 在顯著水準 α=0.01、b=2、α_0=0.5、β_0=3.5、n=10、m=5 以及不同的設限序列下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值之圖形。	30
圖3.3 在顯著水準 α=0.01、b=2、α_0=0.5、β_0=3.5、n=15、m=5 以及不同的設限序列下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值之圖形。	31
圖3.4 在顯著水準 α=0.01、b=2、α_0=0.5、β_0=3.5、n=15、m=10 以及不同的設限序列下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值之圖形。	32
圖3.5 在顯著水準 α=0.01、b=2、α_0=0.5、β_0=3.5、n=20、m=5 以及不同的設限序列下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值之圖形。	33
圖3.6 在顯著水準 α=0.01、b=2、α_0=0.5、β_0=3.5、n=20、m=10 以及不同的設限序列下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值之圖形。	34
圖3.7 在顯著水準 α=0.01、b=2、α_0=0.5、β_0=3.5、n=20、m=15 以及不同的設限序列下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值之圖形。	35
圖3.8 在顯著水準 α=0.05、b=2、α_0=0.5、β_0=3.5、n=10、m=5 以及不同的設限序列下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值之圖形。	36
圖3.9 在顯著水準 α=0.05、b=2、α_0=0.5、β_0=3.5、n=15、m=5 以及不同的設限序列下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值之圖形。	37
圖3.10 在顯著水準 α=0.05、b=2、α_0=0.5、β_0=3.5、n=15、m=10 以及不同的設限序列下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值之圖形。	38
圖3.11 在顯著水準 α=0.05、b=2、α_0=0.5、β_0=3.5、n=20、m=5 以及不同的設限序列下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值之圖形。	39
圖3.12 在顯著水準 α=0.05、b=2、α_0=0.5、β_0=3.5、n=20、m=10 以及不同的設限序列下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值之圖形。	40
圖3.13 在顯著水準 α=0.05、b=2、α_0=0.5、β_0=3.5、n=20、m=15 以及不同的設限序列下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值之圖形。	41
圖4.1 參數 θ 與SSE的關係圖	56
圖4.2 在顯著水準 α=0.01、θ=2 與設限參數 r=0、s=1 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值之圖形。	63
圖4.3 在顯著水準 α=0.01、θ=2 與設限參數 r=0、s=2 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值之圖形。	64
圖4.4 在顯著水準 α=0.01、θ=2 與設限參數 r=0、s=3 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值之圖形。	65
圖4.5 在顯著水準 α=0.01、θ=2 與設限參數 r=1、s=1 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值之圖形。	66
圖4.6 在顯著水準 α=0.01、θ=2 與設限參數 r=1、s=2 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值之圖形。	67
圖4.7 在顯著水準 α=0.01、θ=2 與設限參數 r=1、s=3 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值之圖形。	68
圖4.8 在顯著水準 α=0.01、θ=2 與設限參數 r=2、s=1 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值之圖形。	69
圖4.9 在顯著水準 α=0.01、θ=2 與設限參數 r=2、s=2 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值之圖形。	70
圖4.10 在顯著水準 α=0.01、θ=2 與設限參數 r=2、s=3 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值之圖形。	71
圖4.11 在顯著水準 α=0.01、θ=2 與設限參數 r=3、s=1 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值之圖形。	72
圖4.12 在顯著水準 α=0.01、θ=2 與設限參數 r=3、s=2 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值之圖形。	73
圖4.13 在顯著水準 α=0.01、θ=2 與設限參數 r=3、s=3 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值之圖形。	74
圖4.14 在顯著水準 α=0.05、θ=2 與設限參數 r=0、s=1 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值之圖形。	75
圖4.15 在顯著水準 α=0.05、θ=2 與設限參數 r=0、s=2 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值之圖形。	76
圖4.16 在顯著水準 α=0.05、θ=2 與設限參數 r=0、s=3 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值之圖形。	77
圖4.17 在顯著水準 α=0.05、θ=2 與設限參數 r=1、s=1 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值之圖形。	78
圖4.18 在顯著水準 α=0.05、θ=2 與設限參數 r=1、s=2 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值之圖形。	79
圖4.19 在顯著水準 α=0.05、θ=2 與設限參數 r=1、s=3 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值之圖形。	80
圖4.20 在顯著水準 α=0.05、θ=2 與設限參數 r=2、s=1 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值之圖形。	81
圖4.21 在顯著水準 α=0.05、θ=2 與設限參數 r=2、s=2 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值之圖形。	82
圖4.22 在顯著水準 α=0.05、θ=2 與設限參數 r=2、s=3 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值之圖形。	83
圖4.23 在顯著水準 α=0.05、θ=2 與設限參數 r=3、s=1 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值之圖形。	84
圖4.24 在顯著水準 α=0.05、θ=2 與設限參數 r=3、s=2 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值之圖形。	85
圖4.25 在顯著水準 α=0.05、θ=2 與設限參數 r=3、s=3 下，壽命績效指標的檢定力真實值與模擬平均值之圖形。	86

參考文獻
	Balakrishnan N. and Aggarwala R. (2000). Progressive censoring: Theory, methods and applications, Birkhäuser, Boston.
	Bickel P.J., Doksum. K.A. (1977). Mathematical statistics: basic ideas and selected topics. San Francisco : Holden-Day.
	Boyles, R.A. (1991). The Taguchi capability index. Journal of Quality Technology, 23, 17-26.
	Chan, L.K., Cheng, S.W. and Spiring, F.A. (1988). A new measure of process capability: C_pm. Journal of Quality Technology, 20(3), 162-175.
	Chen, Z. (1997). Parameter estimation of the Gompertz population. Biometrical Journal, 39(1), 117-124.
	Chen, Z. (1998). Joint estimation for the parameters of Weibull distribution. Journal of Statistical Planning and Inference, 66(1), 113-120.
	Clement, J.A. (1989). Process capability calculations for non-normal distribution. Quality Progress, 22, 95-100.
	Cohen, A.C. (1963). Progressively censored samples in life testing. Technometrics, 5(3), 327-339.
	Hong, C.W., Wu, J.W. and Cheng, C.H. (2007). Computational procedure of performance assessment of lifetime index of businesses for the Pareto lifetime model with the right type II censored sample. Applied Mathematics and Computation, 184(2), 336-350.
	Hong, C.W., Wu, J. W. and Cheng, C.H. (2008). Computational procedure of performance assessment of lifetime index of Pareto lifetime businesses based on confidence interval. Applied Soft Computing, 8(1), 698-705.
	Hong, C.W., Wu, J.W., and Cheng, C.H. (2009). Implementing lifetime performance index for the Pareto lifetime businesses of the service industries. Quality and Quantity, 43(2), 291-304.
	Juran, J.M. (1974). Journal quality control handbook, (3^rd ed), McGraw-Hill, New York.
	Kane, V.E. (1986). Process capability indices. Journal of Quality Technology, 18(1), 41-52.
	Lawless, J.F. (1982). Statistical models and methods for lifetime data. John Wiley & Sons, New York.
	Lee, E.T. (1980). Statistical method for survival data analysis. Lifetime Learning Publication, Belmont.
	Meintanis, S.G. (2008). A new approach of goodness-of-fit testing for exponentiated laws applied to the generalized Rayleigh distribution. Computational Statistics and Data Analysis, 52(5), pp. 2496–2503.
	Montgomery, D.C. (1985). Introduction to statistical quality control. John Wiley & Sons, New York.
	Pearn, W.L. and Chen, K.S. (1997). Capability indices for non-normal distributions with an application in electrolytic capacitor manufacturing. Microelectronics and Reliability, 37(12), 1853-1858.
	Surles, J.G., Padgett, W.J. (2001). Inference for reliability and stress-strength for a scaled Burr type X distribution. Lifetime Data Analysis, 7, 182–200.
	Tong, L.I., Chen, K.T. and Chen, H.T. (2002). Statistical testing for assessing the performance of lifetime index of electronic components with exponential distribution. International Journal of Quality & Reliability Management, 19(7), 812-824.
	Wu, J.W. and Li, P.L. (2003). Optimal parameter estimation of the Extreme Value distribution Based on a Type II Censored Sample. Communications in Statistics - Theory and Methods, 32, 533–554.
	Wu, J.W., Wu, S.F. and Yu, C.M. (2007,a). One-sample Bayesian predictive Interval of future ordered observations for the Pareto Distribution”. Quality and Quantity, 41, pp. 251-263.
	Wu, J.W., Lee, W.C., and Hou, H.C. (2007,b). Assessing the performance for the products with Rayleigh lifetime. Journal of Quantitative Management, 4, 147-160.
	Wu, J.W., Lee, W.C., and Hong, C.W. (2009,a). Assessing the lifetime performance index of products with the exponential distribution under progressively type II right censored samples. Journal of Computational and Applied Mathematics, 231(2), 648-656.
	Wu, J.W., Lee, W.C., and Hong, C.W. (2009,b). Assessing the lifetime performance index of products from progressively type II right censored data using Burr XII model. Mathematics and Computers in Simulation, 79(7), 2167-2179.
	Wu, J.W., Lee, W.C., Hong, M.L., Lin, L.S. and Chan, R.L. (2011). Assessing the lifetime performance index of Rayleigh products based on the Bayesian estimation under progressively type II right censored samples. Journal of Computational and Applied Mathematics, 235(6), 1676-1688.