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系統識別號 U0002-1701201303370000
中文論文名稱 完全圖分割成迴圈與星圖的探討
英文論文名稱 Decomposition of complete graphs into cycles and stars
校院名稱 淡江大學
系所名稱(中) 數學學系碩士班
系所名稱(英) Department of Mathematics
學年度 101
學期 1
出版年 102
研究生中文姓名 黃建華
研究生英文姓名 Chien-Hua Huang
電子信箱 like80028@hotmail.com
學號 698190120
學位類別 碩士
語文別 中文
口試日期 2012-12-27
論文頁數 46頁
口試委員 指導教授-高金美
委員-黃文中
委員-徐泰煒
中文關鍵字 完全圖  迴圈  星圖  分割 
英文關鍵字 complete graph  cycle  star  decomposition 
學科別分類 學科別自然科學數學
中文摘要 一個具有n個點的圖中,若任意兩點皆有邊相連,我們稱此圖為n個點的完全圖,記作Kn。一個具有n個點的連通圖,其每一點的度數皆為2,我們稱此圖為n-迴圈,記作Cn。一個具有n+1個點的連通圖,其中有一點的度數為n,其餘各點的度數皆為1,我們稱此圖為星圖,記作Sn,同構於K1,n。設G為一個簡單圖,G1,G2,…,Gt為G的子圖,若滿足下列條件:
(1) E(G1)∪E(G2)∪ ... ∪E(Gt) = E(G);
(2) 對於1 ≦ i ≠ j ≦ t,E(Gi) ∩ E(Gj) = 空集合,
則稱G可分割為G1,G2,…,Gt,記作G = G1+ G2+ … + Gt。若H是G的子圖,且G1,G2,…,Gt都與H同構,則稱G可分割成t個H,記為G = tH。若G可分割成p個G1與q個G2,則記為G = pG1 + qG2。 
在本論文中,我們證明了:
(1) 當n≡0 (mod 6),Kn可分割成C3和S3的各種組合。
(2) 當n≡1 (mod 6),Kn可分割成C3和S3的各種組合。
進而得到以下定理
定理:當n≡1,3 (mod 6),n ≧ 3且p、q為非負整數。
如果Kn可分割成p個C3和q個S3,
若且唯若p + q = n(n-1)/6 且q ≠ 1,2。
英文摘要 A complete graph Kn is a graph with n vertices and there is an edge joining any two vertices. An n-cycle Cn is a connected graph with n vertices and the degree of each vertex is 2. A star graph Sn is a graph with n+1 vertices and there is a vertex of degree n, the others are degree of 1. Let G be a simple graph and G1,G2,…,Gt be subgraphs of G. If E(G1)∪E(G2)∪…∪E(Gt) = E(G) and for all 1≦ i ≠ j ≦t,E(Gi)∩E(Gj) = empty set, then we call that G can be decomposed into G1, G2, … , Gt, denoted by G = G1+ G2+ … + Gt. If G1, G2, … , Gt are isomorphic to graph H, then we call G can be decomposed into H. If G can be decomposed into p copies of G1 and q copies of G2, that G can denoted by G = pG1 + qG2.
In this paper, we show that:
(1) if n≡1 (mod 6), then Kn can be decomposed into C3 and S3.
(2) if n≡3 (mod 6), then Kn can be decomposed into C3 and S3.
Combining the above results, we obtain the following theorem:
Theorem: n≡1, 3 (mod 6), n≧3. For any nonnegative integers p and q.
Kn can be decomposed into p copies of C3 and q copies of S3
if and only if p + q = n(n-1)/6 and q ≠ 1, 2。
論文目次 目 錄
第一章 簡介 ……………………………………………………… 01
第二章 預備知識 ………………………………………………03
第三章 Kn分割成C3和S3 ……………………………16
第一節 n≡1(mod 6) ……………………………32
第二節 n≡3(mod 6) ……………………………41
第四章 結論 ……………………………………………………… 45
參考文獻 ……………………………………………………………… 46


圖目錄
圖2.1 G ………………………………………………………………… 03
圖2.2 H為G的子圖…………………………………………………… 03
圖2.3 連通圖G1和非連通圖G2 ……………………………………04
圖2.4 deg(v)=3 ………………………………………………………… 04
圖2.5 C4 ………………………………………………………………………… 05
圖2.6 K5 ………………………………………………………………………… 05
圖2.7 K2,3 ………………………………………………………………… 06
圖2.8 S4 ………………………………………………………………………… 07
圖2.9 K5= C5+C5 = 2C5………………………………………… 08
圖2.10 G H…………………………………………………………………… 08
圖3.1 K4 = 1C3 + 1S3 ………………………………………… 17
圖3.2 M1 ………………………………………………………………………… 24
圖3.3 M1 ………………………………………………………………………… 25
圖3.4 W1 ………………………………………………………………………… 26
圖3.5 W1 = 6S3…………………………………………………………… 26
圖3.6 M2 ………………………………………………………………………… 26
圖3.7 K15 = K2 ∪ K2,13 ∪ K13 …………………… 29
圖3.8 有洞的交換擬似群的建構STS的方法……………… 31
圖3.9 G ………………………………………………………………… 32
圖3.10 G ………………………………………………………………… 33
圖3.11 對應於x1°x2=x4,x1°x3=x2所形成的圖W …35
圖3.12 G …………………………………………………………………………… 37
圖3.13 G …………………………………………………………………………… 38
圖3.14 G …………………………………………………………………………… 39
圖3.15 對應於1°3=81°5=3所形成的圖W………………… 40


表目錄
表2.1 6 階有洞的交換擬似群 …………………………………………10
表2.2 6 階有洞的交換擬似群 …………………………………………12
表2.3 8 階有洞的交換擬似群 …………………………………………13
表2.4 5 階的擬似群({1,3,5,8,9},°)………………………14
表2.5 10 階部分有洞的交換擬似群…………………………………15
表2.6 10 階有洞的交換擬似群…………………………………………15

參考文獻 [1] Alspach, B., Gavlas, H.: Cycle decompositions of Knand Kn−I, J. Comb. Theory
Ser. B 81(2001), 77–99.
[2]Kirkman, T. P.: On a problem in combinations, Cambridge and Dublin Math.
Journal 2 (1847), 191-204.
[3] Lindner, C.C. and Rodger, C.A.: Design theory, Boca Raton, Florida, CRC Press
(1997).
[4] Šajna, M.: Cycle decompositions III: complete graphs and fixed length cycles. J.
Comb. Des. 10(2002), 27–78.
[5] Shyu, T. W.: Decomposition of complete graphs into cycles and stars, Graphs
and Combinatorics (2011), pp. 1-13,doi:10.1007/s00373-011-1105-3.
[6] Tarsi, M.: Decomposition of complete multigraph into stars. Discrete Math.
26(1979), 273–278.
[7] Yamamoto, S., Ikeda, H., Shige-ede, S., Ushio, K., Hamada, N.: On claw
decomposition of complete graphs and complete bipartie graphs. Hiroshima Math. J. 5(1975), 33–42.
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