本研究則是針對剛體的運動，考慮多自由度的耦合現象，以三次方彈簧(cubic spring)及二次方阻尼為支撐，並考慮受到簡單空氣動力影響下，模擬其非線性的振動現象。並於該主體下方懸掛減振裝置
    為了驗證本研究結果之正確性，吾人以解析及數值兩種方法來分析本研究問題，解析方法方面，吾人以多尺度法(Mutiple Scales法)，求出此氣體彈性系統四自由度之解析解，包含穩態解(steady state solution)及與時間有關的時間態解(time dependend solution)，數值法則為阮奇-庫達(Runge-Kutta)數值積分方法求出頻率振幅分析。並由Floquet法來判斷系統穩定性，提供設計減振機構參考之資訊，隨後調整不同之減振器位置以求出最佳位置，期望能降低系統振幅之最終目的。

A 2-D rigid body nonlinear vibration system is considered in this research. This system includes an attached rigid body absorber. Both main body and the absorber allow plunge and pitch motion. The main body is supported by a cubic spring and a non-linear damper at the body’s elastic axis. Both two ends of the absorber are attached under the main body by linear springs. The unsteady aerodynamic force is also included in this system. This vibration system can be considered a suspension bridge section, an airfoil with pylon, or any other vibration mechanisms with under stores. The main goal of this research is to study the effects of the attached vibration absorber on a vibrating rigid body sustaining aerodynamic force and analysis stability. The analytic model is established by the Newton’s Law. The nonlinear effect is simulated by the cubic spring and nonlinear damper. The analytic solution is obtained by using the Multiple-Time-Scales method. The system stability is obtained by Floquet method. Some fixed points results are also studied. Correlations of both analytic function and numerical results are made and prove the accuracy of our model. The optimal location of this absorber for minimum main body vibration and unsteady motion is concluded in this research. The results of this research provide a better way to reduce system vibration and increasing the stability for system.

目錄

第一章 緒論……………………………………………..……………1
       1-1 研究動機…………………………………...…………1
       1-2 文獻回顧……………………………………………...3
       1-3 研究方法……………………………………………...6
第二章 系統理論模式之建立……………………………...…...8
       2-1 主體與減振裝置..……………………..……………...8
       2-2主體受力之分解……………………….………..…….9
       2-3 減振器之受力……..…………………..……………11
       2-4 二維主體與減振器之運動方程..……………….…..13
       2-5 二維主體與減振器之氣體彈性系統運動方程式.…...19
第三章 系統之解析解…………………………………………………30
       3-1二維主體系統與減振器運動方程式之解析………..…30
       3-2系統耦合方程式之解耦………………………….………46
       3-3 系統耦合方程式之特解……………………………….72
3-4 Subharmonic Oscillations………………………………....73
第四章系統之穩定性分析………………………………..…………77
       4-1 系統之穩定性…………………………………………….77
       4-2系統穩定性之方程式……………………………………78
第五章 結果與討論……………………………………………………83
第六章 結論與未來研究方向…………………………………………90
參考文獻…………………………………………..…………………92

附錄目錄
附錄 1 運動方程式各項係數符號(主體Rotation) ………………...93
附錄 2 運動方程式各項係數符號(主體Translation) ……………...95
附錄 3 運動方程式各項係數符號(減振器Rotation) …………...…96
附錄 4 運動方程式各項係數符號(減振器Translation)……………97
附錄 5 頻率2
ω 之頻率響應方程式相對應之係數..……………..........98
附錄 6 頻率3
ω 之頻率響應方程式相對應之係數..……………........100
附錄 7 頻率4
ω 之頻率響應方程式相對應之係數..……………........102

圖目錄
圖 1 平面剛體與減振裝置…………………………………………104
圖 2 平面剛體之F.B.D………………………………………..……104
圖 3 減振器之F.B.D…………………………………………..……105
圖 4 主體俯仰之穩態頻率響應圖與R-K 數值模擬頻率振幅分析比
較.................................. ……………………………………...………105
圖 5 主體上下振動之穩態頻率響應圖與R-K 數值模擬頻率振幅分析
比較.................................. ………………………………….………..106
圖 6 減振器俯仰之穩態頻率響應圖與R-K 數值模擬頻率振幅分析比
較.................................. ……………………………….…………..…106
圖 7 減振器上下振動之穩態頻率響應圖與R-K 數值模擬頻率振幅分
析比較.................................. …………………………….………..…..107
圖 8 主體俯仰具非線性阻尼與不具非線性阻尼之穩態頻率響應圖比
較.................................. …………………………….………..………..107
圖 9 主體俯仰具減振器與無減振器之穩態頻率響應圖比較(安裝於距
離翼前緣0.0~0.1C 之位置) .................................. ………….……….108
圖 10 主體上下振動具減振器與無減振器之穩態頻率響應圖比較(安
裝於距離翼前緣0.0~0.1C 之位置) .................................. ……….….108

圖 11 主體俯仰之穩態頻率響應圖(安裝於距離翼前緣0.0~0.1C 之位
置) .................................. ………….….................................... …….…109
圖 12 主體俯仰之穩態頻率響應圖(安裝於距離翼前緣0.1~0.2C 之位
置) ...........................………….….................................. …….………..109
圖 13 主體俯仰之穩態頻率響應圖(安裝於距離翼前緣0.2~0.3C 之位
置)............................. ………….…............................ …….…………..110
圖 14 主體俯仰之穩態頻率響應圖(安裝於距離翼前緣0.3~0.4C 之位
置)........................ ………….…............................ …….…….………..110
圖 15 主體俯仰之穩態頻率響應圖(安裝於距離翼前緣0.4~0.5C 之位
置)..................................……….…............................ …….…………..111
圖 16 主體俯仰之穩態頻率響應圖(安裝於距離翼前緣0.5~0.6C 之位
置)................................ ……….…............................ …….…………..111
圖 17 主體俯仰之穩態頻率響應圖(安裝於距離翼前緣0.6~0.7C 之位
置)............................. ………….…............................ …….…………..112
圖 18 主體俯仰之穩態頻率響應圖(安裝於距離翼前緣0.7~0.8C 之位
置)............................. ………….…............................ …….…………..112
圖 19 主體俯仰之穩態頻率響應圖(安裝於距離翼前緣0.8~0.9C 之位
置)................................ ……….…............................ …….…………..113
圖 20 主體俯仰之穩態頻率響應圖(安裝於距離翼前緣0.9~1.0C 之位
置)............................ ………….…............................ …….…………..113

圖 21 主體俯仰之相位圖：σ = 2.0 、無因次化風速U = 0.7 、時間T 為
200~350(安裝於距離翼前緣0.0~0.1C 之位置) .......…….…………..114
圖 22 主體俯仰之相位圖：σ = 2.0 、無因次化風速U = 0.7 、initial
displacement=0.0、initial velocity=0.0 (安裝於距離翼前緣0.0~0.1C 之
位置) .......................... ………….…............................ …….…………114
圖 23 主體俯仰之相位圖：σ = 2.0 、無因次化風速U = 0.7 、initial
displacement=1.0、initial velocity=1.0 (安裝於距離翼前緣0.0~0.1C 之
位置) .............................. …………............................. …….…………115
圖 24 主體上下振動之相位圖：σ = 2.0 、無因次化風速U = 0.7 、時間
T為200~350 (安裝於距離翼前緣0.0~0.1C 之位置) ……….….........115
圖 25 主體上下振動之相位圖：σ = 2.0 、無因次化風速U = 0.7 、initial
displacement=0.0、initial velocity=0.0 (安裝於距離翼前緣0.0~0.1C 之
位置) .............................. ………….…........................ …….…………116
圖 26 主體上下振動之相位圖：σ = 2.0 、無因次化風速U = 0.7 、initial
displacement=1.0、initial velocity=1.0 (安裝於距離翼前緣0.0~0.1C 之
位置) .............................. ………….…........................ …….…………116
圖 27 主體俯仰之相位圖：σ = 2.0 、無因次化風速U = 0.7 時間T 為
200~350 (安裝於距離翼前緣0.3~0.4C 之位置) ............ …….……..117
X
圖 28 主體上下振動之相位圖：σ = 2.0 、無因次化風速U = 0.7 時間T
為200~350 (安裝於距離翼前緣0.3~0.4C 之位置) ............ .………..117
圖 29 主體俯仰之相位圖：σ = 2.0 、無因次化風速U = 0.7 、initial
displacement=0.0、initial velocity=0.0 (安裝於距離翼前緣0.3~0.4C 之
位置) .............................. ………….….........................…….…………118
圖 30 主體俯仰之相位圖：σ = 2.0 、無因次化風速U = 0.7 、initial
displacement=1.0、initial velocity=1.0 (安裝於距離翼前緣0.3~0.4C 之
位置) .............................. ………….…........................ …….…………118
圖 31 主體上下振動之相位圖：σ = 2.0 、無因次化風速U = 0.7 、initial
displacement=0.0、initial velocity=0.0 (安裝於距離翼前緣0.3~0.4C 之
位置) .............................. ………….…............................ ….…………119
圖 32 主體上下振動之相位圖：σ = 2.0 、無因次化風速U = 0.7 、initial
displacement=1.0、initial velocity=1.0 (安裝於距離翼前緣0.3~0.4C 之
位置) .............................. ………….…............................ …….………119
圖33 subharmonic 之頻率響應圖(安裝於距離翼前緣0.0~0.1C 之位
置) ............................ ……….............................. ………......................120
圖34 subharmonic 之頻率響應圖(各個不同減振器位置) …...... …...120
圖35 subharmonic 之頻率響應圖(各個不同減振器位置-改變座標軸區
間) …..... ............. ............. ............. ............. ............. ............. .... …...121

圖36 系統之basin of attraction：σ = 2.0、無因次化風速U = 0.7 (無安裝
減振器) .............................. ………….…............................ …….……121
圖37 系統之basin of attraction：σ = 2.0、無因次化風速U = 0.7 (安裝於
距離翼前緣0.1~0.2C 之位置) ........................... ………….…............122
圖38 系統之basin of attraction：σ = 2.0、無因次化風速U = 0.7 (安裝於
距離翼前緣0.3~0.4C 之位置) .............................. ……….….............122
圖39 系統之basin of attraction：σ = 2.0、無因次化風速U = 0.7 (安裝於
距離翼前緣0.8~0.9C 之位置) .............................. ………….............123
圖40 系統之basin of attraction：σ = 2.0、無因次化風速U = 0.7 (安裝於
距離翼前緣0.9~1.0C 之位置) .............................. ……….….............123
圖41 系統之basin of attraction：σ = 2.0、無因次化風速U =1.0 (安裝於
距離翼前緣0.0~0.1C 之位置) .............................. ……….….............124
圖 42 主體俯仰之相位圖：σ = 2.0 、無因次化風速U =1.0 、initial
displacement=0.0、initial velocity=0.0 (安裝於距離翼前緣0.0~0.1C 之
位置) .............................. …………............. ............ .............. ............124
圖 43 主體上下振動之相位圖：σ = 2.0 、無因次化風速U =1.0 、initial
displacement=0.0、initial velocity=0.0 (安裝於距離翼前緣0.0~0.1C 之
位置) .............................. ………….…......... ............ .............. ............125
圖 44 減振器俯仰之相位圖：σ = 2.0 、無因次化風速U =1.0 、initial
XII
displacement=0.0、initial velocity=0.0 (安裝於距離翼前緣0.0~0.1C 之
位置) .............................. ………….…........ ............ ...................... .....125
圖 45 減振器上下振動之相位圖：σ = 2.0、無因次化風速U =1.0、initial
displacement=0.0、initial velocity=0.0 (安裝於距離翼前緣0.0~0.1C 之
位置) .............................. ……………….…..................... .............. .....126
圖 46 主體俯仰之相位圖：σ = 2.0 、無因次化風速U = 0.7 、initial
displacement=0.5、initial velocity=0.2 (安裝於距離翼前緣0.1~0.2C 之
位置) .............................. …………….…............ ............ .............. .....126
圖 47 主體上下振動之相位圖：σ = 2.0 、無因次化風速U = 0.7 、initial
displacement=0.5、initial velocity=0.2 (安裝於距離翼前緣0.1~0.2C 之
位置) .............................. ……………….…........ ........ .............. ….....127
圖 48 減振器俯仰之相位圖：σ = 2.0 、無因次化風速U = 0.7 、initial
displacement=0.5、initial velocity=0.2 (安裝於距離翼前緣0.1~0.2C 之
位置) .............................. ……………….…........ ........ .............. ….....127
圖 49 減振器上下振動之相位圖：σ = 2.0、無因次化風速U = 0.7、initial
displacement=0.5、initial velocity=0.2 (安裝於距離翼前緣0.1~0.2C 之
位置) .............................. ……………….......... ........ .............. ….....128

表目錄
表1.主體俯仰之Fixed points 的頻率響應(減振器長度為0.1) …….129
表2.主體俯仰與上下振動之特徵值(減振器長度為0.1) …………..129
表3.主體俯仰之Phase plot 的振幅 (減振器長度為0.1，σ =2.0) …130

參考文獻
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[2] Lewandowski, Roman,”Non-linear vibration of beams with gaps at supports”, Foundations of civil and environmental engineering 2002,pp.88-99
[3] Casciati, Fabio and Ubertini, Fillippo “Nonlinear vibration of shallow cables with semiactive tuned mass damper”, Nonlinear Dyn 53,2008,pp89-106.
[4] Chakradhar, Byreddy , Ramana, V. Grandhi, and Philip, Beran “Dynamic Aeroelastic Instabilities of an Aircraft Wing with Underwing Store in Transonic Regime”,Journal of Aerospace Engineering,vol.10,2005,pp.206-214.
[5] Lee, B.H.K, Gong, L ,and Wong, Y.S, “Analysis and computation of nonlinear dynamic response of two-degree-of-freedom system and its application in aeroelasticity”,Journal of fluids and Structures,vol.11,
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[7] 張新龍,  “非線性二維機構減振研究”,  台北縣,淡江大學航空太空工程系碩士班.