本文發展應用移動漸近線法(Method of Moving Asymptotes,
MMA)於有限元素法為基礎的最佳化設計，該最佳化設計的主要核
心是應用移動漸近線法的近似法於最佳化的蒐尋過程。一般的類似
近似法有SLP 及SQP，雖然能處理結構最佳化問題，但在拓樸結構
的最佳化求解時計算成效不彰，不易處理多限制條件與多變數的問
題。近幾年來MMA 被應用在處理多變數多限制條件的題目有顯著
的效果，對於結構拓樸最佳化中多變數的設計問題亦有良好的適用
性。本文以Matlab 語言的移動漸近線法為基礎，應用於有限元素的
最佳化設計，以桁架設計例題驗證MMA 的特點及實用性，並對有限差分與毗連(Adjoint)法的敏感度分析加以研究與比較，接著應用MMA 到最大化剛性結構之拓樸最佳化設計。
在一般的結構拓樸最佳化，設計過程並不考慮應力破壞的限制，只對材料使用量加以限制，因此不確定結構是否能承受負荷，原因是直接進行應力限制的計算非常繁雜。本文提出一種考慮應力限制條件並找出最佳材料使用量的實用方法，以設計目標為最小化撓性值(Compliance)同時也最小化材料使用量。由於最小撓性值與較大的材料使用量成正比，需滿足應力限制條件下求得最小材料使用量及最大剛性的拓樸結構設計，就需採用多目標的處理技術。亦即將目標函數轉換為同時具有最小化撓性並最小化材料使用量的數學形式，處理包含應力限制條件的最佳化問題。該作法是先解得在不同材料使用量限制下，最大剛度的拓樸構造，由有限元分析得知對應的最大應力值。再以迴歸方式建立最大應力是材料使用量關係的顯性近似函數。這個函數就可方便的載入應力限制條件，材料使用量為設計變數的最小化撓性值及最小化材料使用量的結構拓樸最佳化。雖然處理的步驟及作法稍多，但確是可行的應用設計策略，最
佳化設計工程師可輕易學習及應用。

This thesis explores the engineering design optimization using the method of moving asymptotes (MMA) as the function approximation. For the finite element based topology optimization, the minimization of compliance resulting in the maximum structural stiffness is a general objective function in the optimization formulation. This work first investigates the influence of material fraction to some physical properties such as compliance, displacement and Von Mises stress. Using the regression technique a relation between the maximum Von Mises stress respect to the volume fraction can be established and further utilized in the topology optimization as an explicit constrained function. This equation is very convenient and directly perform the first and second derivative as the sensitivity analysis for MMA based topology optimization. The MBB-beam structure is adpoted as an experiment to illustrate the whole design process. The final result shows very good consistency when one reversely examine the result by the finite element analysis. The proposed MMA based topology optimization is a practical approach for a general optimization engineer to lean and to apply.

目  錄

中文摘要 …………………………………………………………	I
英文摘要 …………………………………………………………	III
目錄 ………………………………………………………………	V
圖目錄 ……………………………………………………………	VII
表目錄 ……………………………………………………………	IX
第一章 緒論………………………………………………………	1
    1-1  研究動機與目的………………………………………	1
    1-2  背景……………………………………………………	3
    1-3  論文架構………………………………………………	5
第二章 移動漸近線法(MMA)處理顯性函數最佳化………………	7
    2-1  MMA的原理……………………………………………… 7
    2-2  MMA的演算法與最佳化演算流程………………………	10
    2-3  應用MMA解非線性限制最佳化問題…………………… 15
第三章 MMA處理有限元素的桁架最佳化…………….	24
    3-1  桁架最佳化……………………………………………	24
    3-2  毗連法的靈敏度分析及最佳化………………………	26
    3-3  有限差分法的靈敏度分析及最佳化…………………	35
第四章 MMA處理有限元素的剛性結構拓樸最佳化……………   40
    4-1  模型及流程……………………………………………	41
    4-2  剛性機構拓樸最佳化…………………………………	47
    4-3  拓樸形態分析…………………………………………	58
    4-4  考慮應力限制的剛性機構拓樸最佳化………………	65
    4-5  討論……………………………………………………	69
第五章 結論………………………………………………………	72
參考文獻……………………………………………………………	73

 
圖 目 錄
圖2-1  MMA最佳化程式流程…………………………………… 	14
圖2-2  五階段懸臂樑結構設計問題……………………………	15
圖2-3  五階段懸臂樑目標函數迭代過程………………………	18
圖2-4  不同LU規則的懸臂樑目標函數迭代過程……………… 	19
圖2-5  不同αβ規則的懸臂樑目標函數迭代過程……………… 	19
圖2-6  二桿桁架結構及負載……………………………………	21
圖2-7  二桿桁架目標函數迭代過程……………………………  22
圖2-8  二桿桁架不同LU規則的目標函數迭代過程……………  23
圖2-9  二桿桁架不同αβ規則的目標函數迭代過程……………	23
圖3-1  十桿桁架結構之負載及設計邊界………………………	30
圖3-2  十桿桁架目標函數迭代過程(用毗連法的靈敏度分析)	33
圖3-3  十桿桁架限制條件迭代過程(用毗連法的靈敏度分析)	33
圖3-4  十桿桁架最佳設計值的型態圖(用毗連法的靈敏度分析)34
圖3-5  十桿桁架目標函數迭代過程(用有限差分法的靈敏度分
       析)………………..……………………………………	38
圖3-6  十桿桁架限制條件迭代過程(用有限差分法的靈敏度分
       析)………………………………………………………   38
圖3-7  十桿桁架最佳設計值的型態圖(用有限差分法的靈敏度分
       析)………………………………………………………… 39
圖4-1  拓樸形態最佳化問題的模型……………………………	42
圖4-2  應用MMA的拓樸最佳化流程……………………………… 46
圖4-3  懸臂板的邊界及負載圖…………………………………	47
圖4-4  懸臂板拓樸結果圖………………………………………	48
圖4-5  類起重機結構負載及邊界圖……………………………	49
圖4-6  類起重機拓樸結果圖……………………………………	50
圖4-7  無過濾器方法的懸臂板拓樸結果………………………	52
圖4-8  考慮有無過濾器下改變懲罰值的懸臂板拓樸圖………	53
圖4-9  96×60網格的懸臂板最佳拓樸形態………………………	54
圖4-10  無過濾器方法的類起重機拓樸結果……………………	55
圖4-11  考慮有無過濾器下改變懲罰值的類起重機拓樸圖……	56
圖4-12  100×100網格的類起重機最佳拓樸形態………………	57
圖4-13  MBB樑的負載及設計邊界圖.……………………………	58
圖4-14  不同 限制的MBB樑拓樸最佳化結果……………………	60
圖4-15   的MBB樑有限元分析網…………………………………	61
圖4-16   的MBB樑Von Mises應力分佈圖………………………	62
圖4-17  最佳化MBB樑的撓性與位移對材料使用量的關係圖…	63
圖4-18  最佳化MBB樑最大與最小的Von Mises應力對材料使
        用量的關係圖…………………………………………   65
圖4-19  不同應力允許值下的MBB樑拓樸設計結果圖…………	67
圖4-20  在材料使用量限制下MBB樑最佳拓樸形態圖…………	68
 
表 目 錄
表2-1  MMA裡L及U採用規則……………………………………	11
表2-2  MMA裡α及β採用規則……………………………………   12
表2-3  五階段懸臂樑MMA最佳化設計的迭代過程……………   17
表2-4  五階段懸臂樑MMA最佳化與文獻[11]的結果…………   18
表2-5  二桿桁架結構MMA最佳化設計的迭代過程……………   21
表2-6  二桿桁架MMA最佳化與文獻[11]的結果………………   22
表3-1  十桿桁架的毗連法MMA最佳化結果……………………   32
表3-2  十桿桁架的有限差分法MMA最佳化結果………………   37
表4-1  不同材料使用量下MBB樑的最佳拓樸設計撓性值………	59
表4-2  MBB樑拓樸最佳化在不同材料使用量的有限元分析結果	64
表4-3  含與不含應力限制下的MBB樑拓樸設計撓性值及材料使
       用量結果……………………………………………………70
表4-4  含與不含應力限制下的MBB樑有限元分析撓性值及材料
       使用量結果…………………………………………………70

參考文獻
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