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系統識別號 U0002-0506201213205000
中文論文名稱 將偏態列入考慮的中央極限定理應用
英文論文名稱 Taking skewness into consideration when applying the Central Limit Theorem
校院名稱 淡江大學
系所名稱(中) 數學學系碩士班
系所名稱(英) Department of Mathematics
學年度 100
學期 2
出版年 101
研究生中文姓名 翁新傑
研究生英文姓名 Hsin-Chieh Wong
學號 699190046
學位類別 碩士
語文別 中文
口試日期 2012-06-01
論文頁數 43頁
口試委員 指導教授-鄭惟厚
委員-趙晨慶
委員-張玉坤
中文關鍵字 中央極限定理  檢定  偏態  Edgeworth展開式 
英文關鍵字 central limit theorem  hypotheses testing  skewness  Edgeworth expansion 
學科別分類 學科別自然科學數學
中文摘要 在應用中央極限定理做統計推論時,樣本大小n必須夠大,但多大才足夠則並無定論,和母體分布有關,其中一個重要的影響因素是分布的偏斜程度。偏斜程度較大的分布,樣本大小n需要更大才會接近中央極限定理的結果。當我們檢定H_0:μ=μ_0對應H_1:μ>μ_0時,根據許力升論文的討論,以樣本標準差S_n取代母體標準差σ時P(Type I error)低於預期之0.05,而我們想到若在應用中央極限定理做檢定時,將偏斜程度列入考慮做些調整,結果可能會比起直接應用要來得好。
分布的偏斜程度可以使用偏態(skewness)來表達,因為Edgeworth expansion當中有一項係數包含了偏態在內,所以我們將利用它來探討這個問題,並將建議如何利用Edgeworth expansion對檢定問題的臨界值做修正。
我們以電腦模擬方式,以λ家族所產生的四個分布進行討論,在σ已知的條件下討論結果發現,比起只用傳統的中央極限定理來做檢定,利用Edgeworth expansion所模擬得出的α值幾乎都比較接近原先所設定的α值,在偏態較大,而n較小時,差別更為明顯。
在σ未知的條件下討論結果發現,雖然σ和偏態都是用估計值代替,但除了樣本大小n為5與10的情況下,比起只用傳統的中央極限定理來做檢定,利用Edgeworth expansion所模擬得出的α值幾乎都比較接近原先所設定的α值,符合我們的預期。
英文摘要 When applying the central limit theorem on statistical inference, sample size n has to be large, but different text books give different suggestions on how large the sample size should be. We observed that the skewness of the population plays an important role in this matter. When the distribution of the population is very skewed, it takes a bigger sample size for the distribution of the sample mean X.bar to get close to the normal distribution.
In this paper we are interested in the problem of testing H_0:μ=μ_0vs.H_1:μ>μ_0. In Li-Sheng Hsu’s master’s thesis he noted that when the population standard deviation is unknown and has to be replaced by the sample standard deviation, the probability of a Type I error is often a lot smaller than the designated α of 0.05. In this paper we want to take skewness into consideration and try to cut down the difference between the actual and designated significant levels. Edgeworth expansion was used and we were successful in making adjustments to the critical value to achieve our goal, shown by the results of computer simulations.
論文目次 目錄
1.緒論………………………………………………………………………………………1
1.1前言……………………………………………………………………………………………1
1.2文獻探討……………………………………………………………………………………2
2.X.bar的抽樣分布…………………………………………………………………………………4
2.1母體標準差σ已知………………………………………………………………………7
2.2利用Edgeworth expansion對sqrt(n)·(Χ.bar-μ)/σ之分布做修正……………………………12
2-3母體標準差σ未知………………………………………………………………………17
2-4利用Edgeworth expansion對sqrt(n)·(Χ.bar-μ)/S_n之分布做修正…………………………22
3.度量分布的偏斜程度…………………………………………………………………………27
3.1估計偏態…………………………………………………………………………………27
3.2估計量κ.hat_3的consistent性質…………………………………………………………28
3.3在對稱分布與偏斜分布下,探討以
κ.hat_{3,n}=γ.hat^{3}_{n}/S^{3}_{n}估計γ^{3}/σ^3之表現……………………29
4.Edgeworth修正應用於檢定問題…………………………………………………36
4.1σ已知………………………………………………………………………………36
4.2σ未知………………………………………………………………………………………………………38
5.結論……………………………………………………………………………………………42
參考文獻…………………………………………………………………………………………43

表目錄
表2-1:四個分布分別的參數值,及母體平均數、變異數、偏態…………………………………………5
表3.3-1:模擬10000次所得κ.hat_{3,n}之平均數{κ.hat_{3,n}}.bar及標準差SE_{κ.hat_{3,n}}........................................................30
表3.3-2:模擬10000次所得κ.hat_{3,n}之平均數{κ.hat_{3,n}}.bar及標準差
SE_{κ.hat_{3,n}}........................................................30
表4.1-1:在σ已知的條件下,檢定母體平均數,α=0.05
模擬10000次所得的拒絕比例………………………………………………………………………………………37
表4.2-1:在σ未知的條件下,檢定母體平均數,α=0.05
模擬10000次所得的拒絕比例………………………………………………………………………………………40
表4.2-2:在σ未知的條件下,檢定母體平均數,α=0.05
模擬10000次所得的拒絕比例………………………………………………………………………………………40

圖目錄
圖2-1:四個分布分別的機率密度圖………………………………………………………………..6
圖2.1-1:X_1...X_n~Lambda1,模擬10000次所得sqrt(n)·(Χ.bar-μ)/σ之直方圖與N(0,1)的機率密度函數圖.………………………………………………….………………………………8
圖2.1-2:X_1...X_n~Lambda2,模擬10000次所得sqrt(n)·(Χ.bar-μ)/σ之直方圖與N(0,1)的機率密度函數圖….………………………………………………………………………………9
圖2.1-3:X_1...X_n~Lambda3,模擬10000次所得sqrt(n)·(Χ.bar-μ)/σ之直方圖與N(0,1)的機率密度函數圖….……………………………………………………….……………………10
圖2.2-1:X_1...X_n~Lambda1,模擬10000次所得sqrt(n)·(Χ.bar-μ)/σ之直方圖、N(0,1)的機率密度函數圖、與Z_n的Edgeworth expansion所得的機率密度函數圖…………………13
圖2.2-2:X_1...X_n~Lambda2,模擬10000次所得sqrt(n)·(Χ.bar-μ)/σ之直方圖、N(0,1)的機率密度函數圖、與Z_n的Edgeworth expansion所得的機率密度函數圖…………………14
圖2.2-3:X_1...X_n~Lambda3,模擬10000次所得sqrt(n)·(Χ.bar-μ)/σ之直方圖、N(0,1)的機率密度函數圖、與Z_n的Edgeworth expansion所得的機率密度函數圖…………………15
圖2.3-1:X_1...X_n~Lambda1,模擬10000次所得
sqrt(n)·(Χ.bar-μ)/S_n之直方圖與N(0,1)的機率密度函數圖…..……………….……………………………………………………………18
圖2.3-2:X_1...X_n~Lambda2,模擬10000次所得
sqrt(n)·(Χ.bar-μ)/S_n之直方圖與N(0,1)的機率密度函數圖….…………………..…………………………………………………………19
圖2.3-3:X_1...X_n~Lambda3,模擬10000次所得
sqrt(n)·(Χ.bar-μ)/S_n之直方圖與N(0,1)的機率密度函數圖………………………………………………20
圖2.4-1:X_1...X_n~Lambda1,模擬10000次所得
sqrt(n)·(Χ.bar-μ)/S_n之直方圖、N(0,1)的機率密度函數圖、與對於t分布的Edgeworth expansion所得的機率密度函數圖………23
圖2.4-2:X_1...X_n~Lambda2,模擬10000次所得
sqrt(n)·(Χ.bar-μ)/S_n之直方圖、N(0,1)的機率密度函數圖、與對於t分布的Edgeworth expansion所得的機率密度函數圖………24
圖2.4-3:X_1...X_n~Lambda3,模擬10000次所得
sqrt(n)·(Χ.bar-μ)/S_n之直方圖、N(0,1)的機率密度函數圖、與對於t分布的Edgeworth expansion所得的機率密度函數圖………25
圖3.3-1:X_1...X_n~Lambda0,模擬10000次所得κ.hat_{3,n}之直方圖……………………………31
圖3.3-2:X_1...X_n~Lambda1,模擬10000次所得κ.hat_{3,n}之直方圖……………………………32
圖3.3-3:X_1...X_n~Lambda2,模擬10000次所得κ.hat_{3,n}之直方圖……………………………33
圖3.3-4:X_1...X_n~Lambda3,模擬10000次所得κ.hat_{3,n}之直方圖……………………………34
參考文獻 參考文獻
1 Hall, P. (1987), ” Edgeworth Expansion for Student’s t statistic under minimal
moment conditions,” Annals of Probability, 15, 920-931.
2 Hall, P. (1992), “The Bootstrap and Edgeworth Expansion,” New York:
Springer-Verlag.
3 McWilliams, T. P. (1990), ”A distribution-free test for symmetry based on a runs
statistics,” J. Amer. Statist. Assoc. 85, 1130-1133.
4 Ramberg, J. S.,and Schmeiser, B. W. (1974), ”An approximate method for
generating asymmetric random variables,” Communications of the ACM, 17, 78-82.
5 許力升 (2010), “中央極限定理應用於偏斜分布時樣本大小之探討,” 淡江大學數學學系.
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