我們計算了幾種常見的亂數產生器的基本性質，用以比較這些亂數產生器。我們考察了5種均勻分佈的亂數產生器：ran0、ran1、ran2、ranmar與roulet，以及由這些均勻亂數產生器衍生的指數分佈、高斯分佈的亂數產生器。其中高斯分佈的數據中，我們採用了兩種不同的產生高斯分佈的方法，原理上其中一種將得到嚴格的高斯分佈序列(gas1)，而另一種應得到近似的高斯分佈序列(gas2)。
我們具體分析了這些序列的分佈函數、關聯函數[C1(k)與C2(k)]、一至四階矩與一至四階中心矩。我們發現，由ran0、ran1、ran2、ranmar所產生的序列，與對應的指數、高斯分佈的序列，其分佈函數與關聯函數對理論值的偏差值，會隨著序列的長度成冪次律衰減，roulet對應的嚴格高斯分佈的序列，其關聯函數的偏差值同樣會成冪次律衰減，這些冪次都接近於-1。對於均勻分佈與指數分佈，我們發現roulet的分佈函數是最好的，但關聯函數卻是最差的，ran0、ran1、ran2、ranmar則差別不大。另外，由ran0、ran1、ran2、ranmar衍生的高斯分佈的數據顯示，gas1與gas2的性質都差別不大，而roulet衍生的高斯分佈的數據中，嚴格的方法所得到的序列，其性質都比近似方法所得到的序列好。

We evaluate some basic properties of several often used random number generators. We examine five uniform random number generators named ran0, ran1, ran2, ranmar and roulet. We also analyze the random number generators with exponential and Gaussian distribution. In calculation, we use two different methods to generate Gaussian distribution. In principle one (named gas1) produces exact Gaussian sequence, and the other (named gas2) yields approximate Gaussian sequence.
Especially, we evaluate the distribution functions, correlation functions [C1(k) and C2(k)], first to fourth moments and first to fourth center moments of the sequences obtained from the above generators. We find that for distribution functions, the square deviations from theoretical values decays in power law with increasing sequence length. For the exact Gaussian generator which is derived from Roulet, the square deviation of the colleration functions from theoretical values also decays in power law. Tne index of the power law is close to -1. For the uniform and exponential distribution, we find that roulet output the best distribution function, but the worst correlation function. Moreover, we do not find obvious difference for the sequences obtained from ran0, ran1, ran2 and ranmar. Similarly, there is also little difference for the sequences of gas1 and gas2 which are converted from the ran0, ran1, ran2 and ranmar. In contrast, for the Gaussian sequences converted from roulet, the exact method results in better result than the approximate method.

目錄
第一章 緒論……………………………………………………………1
1-1 亂數及其在物理上的應用 ………………………………………1
1-2 動機與目的 ………………………………………………………3
第二章 亂數的統計性質及常見的亂數產生器之原理………………4
2-1 亂數的統計性質 …………………………………………………4
2-2 常見的亂數分佈函數及其亂數產生器之原理…………………12
第三章 主要結果 ……………………………………………………15
3-1均勻分佈的亂數產生器 …………………………………………15
3-1-1 分佈函數………………………………………………………15
3-1-2 一至四階矩與一至四階中心矩………………………………32
3-1-3 關聯函數………………………………………………………38
3-2 指數分佈的亂數產生器…………………………………………59
3-2-1 分佈函數………………………………………………………59
3-2-2 一至四階矩與一至四階中心矩………………………………67
3-2-3 關聯函數………………………………………………………76
3-3 高斯分佈的亂數產生器…………………………………………80
3-3-1 分佈函數………………………………………………………80
3-3-2 一至四階矩與一至四階中心矩………………………………86
3-3-3 關聯函數………………………………………………………90
第四章 結論…………………………………………………………101
4-1 主要結果 ………………………………………………………101
4-2 討論 ……………………………………………………………103
參考文獻 ……………………………………………………………104
附錄 亂數產生器程式………………………………………………105
1.ran0 ………………………………………………………………105
2.ran1 ………………………………………………………………105
3.ran2 ………………………………………………………………106
4.ranmar ……………………………………………………………107
5.roulet ……………………………………………………………108
6.expdv………………………………………………………………109
7.gasdev ……………………………………………………………110
8.gasd2………………………………………………………………110

圖片目錄
圖(3-1-1)   一個樣品的ran0與ran1的分佈函數..………………………………..15
圖(3-1-2)   一個樣品的ran2與ranmar的分佈函數.…..………………………….15
圖(3-1-3)   一個樣品的roulet的分佈函數..……………..…...……………..…….16
圖(3-1-4)   十個樣品的ran0與ran1的分佈函數.…………...………………..….16
圖(3-1-5)   十個樣品的ran2與ranmar的分佈函數.…………..………………….17
圖(3-1-6)   十個樣品的roulet的分佈函數………………..…...………………….17
圖(3-1-7)   區間數100序列長度五萬的ran0與ran1的分佈函數……..……….18
圖(3-1-8)   區間數100序列長度五萬的ran2與ranmar的分佈函數…………….18
圖(3-1-9)   區間數100序列長度五萬的roulet的分佈函數…...…..…………….18
圖(3-1-10)  區間數100序列長度十萬的ran0與ran1的分佈函數……………….19
圖(3-1-11)  區間數100序列長度十萬的ran2與ranmar的分佈函數…………….19
圖(3-1-12)  區間數100序列長度十萬的roulet的分佈函數....………..…………20
圖(3-1-13)  區間數200序列長度一萬的ran0與ran1的分佈函數……………….20
圖(3-1-14)  區間數200序列長度一萬的ran2與ranmar的分佈函數…………….21
圖(3-1-15)  區間數200序列長度一萬的roulet的分佈函數....………..…………21
圖(3-1-16)  區間數200序列長度五萬的ran0與ran1的分佈函數……………….22
圖(3-1-17)  區間數200序列長度五萬的ran2與ranmar的分佈函數…………….22
圖(3-1-18)  區間數200序列長度五萬的roulet的分佈函數....………..…………22
圖(3-1-19)  區間數200序列長度十萬的ran0與ran1的分佈函數……………….23
圖(3-1-20)  區間數200序列長度十萬的ran2與ranmar的分佈函數…………….23
圖(3-1-21)  區間數200序列長度十萬的roulet的分佈函數....……..……………24
圖(3-1-22)  區間數200序列長度五十萬的ran0與ran1的分佈函數…………….24
圖(3-1-23)  區間數200序列長度五十萬的ran2與ranmar的分佈函數………….25
圖(3-1-24)  區間數200序列長度五十萬的roulet的分佈函數………..…………25
圖(3-1-25)  區間數200序列長度一百萬的ran0與ran1的分佈函數…………….26
圖(3-1-26)  區間數200序列長度一百萬的ran2與ranmar的分佈函數………….26
圖(3-1-27)  區間數200序列長度一百萬的roulet的分佈函數………..…………26
圖(3-1-28)  區間數200序列長度五百萬的ran0與ran1的分佈函數…………….27
圖(3-1-29)  區間數200序列長度五百萬的ran2與ranmar的分佈函數………….27
圖(3-1-30)  區間數200序列長度五百萬的roulet的分佈函數…………..………28
圖(3-1-31)  二十個樣品序列長度五萬的ran0與ran1的分佈函數………..…….28
圖(3-1-32)  二十個樣品序列長度五萬的ran2與ranmar的分佈函數……..…….29
圖(3-1-33)  二十個樣品序列長度五萬的roulet的分佈函數…………..…………29
圖(3-1-34)  二十個樣品序列長度十萬的ran0與ran1的分佈函數………..…….29
圖(3-1-35)  二十個樣品序列長度十萬的ran2與ranmar的分佈函數………..….30
圖(3-1-36)  二十個樣品序列長度十萬的roulet的分佈函數………..……………30
圖(3-1-37)  十個樣品與二十個樣品的分佈函數的偏差值………….……………31
圖(3-1-38)  一個樣品與十個樣品的一階矩…………..………………..………….32
圖(3-1-39)  一個樣品與十個樣品的二階矩………………..…………..………….32
圖(3-1-40)  一個樣品與十個樣品的三階矩……………..……………..………….33
圖(3-1-41)  一個樣品與十個樣品的四階矩………………..…………..………….33
圖(3-1-42)  十個樣品的二階中心矩…………………………..………..………….34
圖(3-1-43)  十個樣品的三階中心矩……………………………..……..………….34
圖(3-1-44)  十個樣品的四階中心矩…………………………..………..………….35
圖(3-1-45)  二十個樣品的一階矩與二階矩……………..……………..………….35
圖(3-1-46)  二十個樣品的三階矩與四階矩…………..………………..………….36
圖(3-1-47)  二十個樣品的二階中心矩…………………………………………….36
圖(3-1-48)  二十個樣品的三階中心矩.……………………………………………36
圖(3-1-49)  二十個樣品的四階中心矩…………………………………………….37
圖(3-1-50)  一個樣品序列長度五千的ran0的關聯函數………………..…….….38
圖(3-1-51)  一個樣品序列長度五千的ran1的關聯函數………………..…….….38
圖(3-1-52)  一個樣品序列長度五千的ran2的關聯函數……………..……….….39
圖(3-1-53)  一個樣品序列長度五千的ranmar的關聯函數……………..………..39
圖(3-1-54)  一個樣品序列長度五千的roulet的關聯函數………………..………39
圖(3-1-55)  一個樣品序列長度五千的ran0與ran1的關聯函數放大圖.………..40
圖(3-1-56)  一個樣品序列長度五千的ran2與ranmar的關聯函數放大圖..……..40
圖(3-1-57)  一個樣品序列長度五千的roulet的關聯函數放大圖………..………40
圖(3-1-58)  十個樣品序列長度五千的ran0的關聯函數…………..………….….41
圖(3-1-59)  十個樣品序列長度五千的ran1的關聯函數……………..……….….41
圖(3-1-60)  十個樣品序列長度五千的ran2的關聯函數…………..………….….42
圖(3-1-61)  十個樣品序列長度五千的ranmar的關聯函數……………..………..42
圖(3-1-62)  十個樣品序列長度五千的roulet的關聯函數…………………….….42
圖(3-1-63)  十個樣品序列長度五千的ran0與ran1的關聯函數放大圖.…….….43
圖(3-1-64)  十個樣品序列長度五千的ran2與ranmar的關聯函數放大圖.……..43
圖(3-1-65)  十個樣品序列長度五千的roulet的關聯函數放大圖…………..……43
圖(3-1-66)  十個樣品序列長度五萬的ran0的關聯函數………………..………..44
圖(3-1-67)  十個樣品序列長度五萬的ran1的關聯函數……………..…………..44
圖(3-1-68)  十個樣品序列長度五萬的ran2的關聯函數……………..…………..45
圖(3-1-69)  十個樣品序列長度五萬的ranmar的關聯函數……………..………..45
圖(3-1-70)  十個樣品序列長度五萬的roulet的關聯函數…………………..……45
圖(3-1-71)  十個樣品序列長度五萬的ran0與ran1的關聯函數放大圖.……..…46
圖(3-1-72)  十個樣品序列長度五萬的ran2與ranmar的關聯函數放大圖.……..46
圖(3-1-73)  十個樣品序列長度五萬的roulet的關聯函數放大圖……………..…46
圖(3-1-74)  十個樣品序列長度十萬的ran0的關聯函數………………..………..47
圖(3-1-75)  十個樣品序列長度十萬的ran1的關聯函數………………..………..47
圖(3-1-76)  十個樣品序列長度十萬的ran2的關聯函數……………..…………..48
圖(3-1-77)  十個樣品序列長度十萬的ranmar的關聯函數……………..………..48
圖(3-1-78)  十個樣品序列長度十萬的roulet的關聯函數……………..…………48
圖(3-1-79)  十個樣品序列長度十萬的ran0與ran1的關聯函數放大圖.……..…49
圖(3-1-80)  十個樣品序列長度十萬的ran2與ranmar的關聯函數放大圖.……..49
圖(3-1-81)  十個樣品序列長度十萬的roulet的關聯函數放大圖………..………49
圖(3-1-82)  十個樣品序列長度五十萬的ran0的關聯函數………………..……..50
圖(3-1-83)  十個樣品序列長度五十萬的ran1的關聯函數………………..……..51
圖(3-1-84)  十個樣品序列長度五十萬的ran2的關聯函數……………..………..51
圖(3-1-85)  十個樣品序列長度五十萬的ranmar的關聯函數……………..……..51
圖(3-1-86)  十個樣品序列長度五十萬的roulet的關聯函數……………..………52
圖(3-1-87)  二十個樣品序列長度十萬的ran0的關聯函數………………..……..53
圖(3-1-88)  二十個樣品序列長度十萬的ran1的關聯函數………………..……..53
圖(3-1-89)  二十個樣品序列長度十萬的ran2的關聯函數………………..……..53
圖(3-1-90)  二十個樣品序列長度十萬的ranmar的關聯函數……………..……..54
圖(3-1-91)  二十個樣品序列長度十萬的roulet的關聯函數……………..………54
圖(3-1-92)  二十個樣品序列長度五十萬的ran0的關聯函數……….…………...54
圖(3-1-93)  二十個樣品序列長度五十萬的ran1的關聯函數………………..…..55
圖(3-1-94)  二十個樣品序列長度五十萬的ran2的關聯函數………………..…..55
圖(3-1-95)  二十個樣品序列長度五十萬的ranmar的關聯函數……………..…..55
圖(3-1-96)  二十個樣品序列長度五十萬的roulet的關聯函數……………..……56
圖(3-1-97)  十個樣品的關聯函數C_1與C_2的偏差值……………………………….57
圖(3-1-98)  二十個樣品的關聯函數C_1與C_2的偏差值…………………………….57
圖(3-2-1)   序列長度一萬的ran0 exp與ran1 exp的分佈函數…………………..59
圖(3-2-2)   序列長度一萬的ran2 exp與ranmar exp的分佈函數………….…….59
圖(3-2-3)   序列長度一萬的roulet exp的分佈函數……………..………….……60
圖(3-2-4)   序列長度五萬的ran0 exp與ran1 exp的分佈函數…………………..60
圖(3-2-5)   序列長度五萬的ran2 exp與ranmar exp的分佈函數………….…….61
圖(3-2-6)   序列長度五萬的roulet exp的分佈函數……………..………….……61
圖(3-2-7)   序列長度十萬的ran0 exp與ran1 exp的分佈函數…………………..62
圖(3-2-8)   序列長度十萬的ran2 exp與ranmar exp的分佈函數………….…….62
圖(3-2-9)   序列長度十萬的roulet exp的分佈函數……………..………….……62
圖(3-2-10)  序列長度五十萬的ran0 exp與ran1 exp的分佈函數………………..63
圖(3-2-11)  序列長度五十萬的ran2 exp與ranmar exp的分佈函數………….….63
圖(3-2-12)  序列長度五十萬的roulet exp的分佈函數……………..………….…63
圖(3-2-13)  序列長度一百萬的ran0 exp與ran1 exp的分佈函數………………..64
圖(3-2-14)  序列長度一百萬的ran2 exp與ranmar exp的分佈函數………….….64
圖(3-2-15)  序列長度一百萬的roulet exp的分佈函數……………..………….…65
圖(3-2-16)  指數的分佈函數的偏差值…………………..…………..………….…65
圖(3-2-17)  指數分佈的一階矩與二階矩………………..…………..………….…67
圖(3-2-18)  指數分佈的三階矩與四階矩………………..…………..………….…67
圖(3-2-19)  指數分佈的二階中心矩……………………..…………..………….…68
圖(3-2-20)  指數分佈的三階中心矩……………………..…………..………….…68
圖(3-2-21)  指數分佈的四階中心矩……………………..…………..………….…68
圖(3-2-22)  序列長度五千的ran0 exp的關聯函數………………….………….…70
圖(3-2-23)  序列長度五千的ran1 exp的關聯函數……………….…………….…70
圖(3-2-24)  序列長度五千的ran2 exp的關聯函數……………….…………….…71
圖(3-2-25)  序列長度五千的ranmar exp的關聯函數……………….…………….71
圖(3-2-26)  序列長度五千的roulet exp的關聯函數……………….……………..71
圖(3-2-27)  序列長度一萬的ran0 exp的關聯函數……………….……………….72
圖(3-2-28)  序列長度一萬的ran1 exp的關聯函數……………….……………….72
圖(3-2-29)  序列長度一萬的ran2 exp的關聯函數……………….……………….73
圖(3-2-30)  序列長度一萬的ranmar exp的關聯函數……………….…………….73
圖(3-2-31)  序列長度一萬的roulet exp的關聯函數……………….……………..73
圖(3-2-32)  序列長度五萬的ran0 exp的關聯函數……………….……………….74
圖(3-2-33)  序列長度五萬的ran1 exp的關聯函數……………….……………….74
圖(3-2-34)  序列長度五萬的ran2 exp的關聯函數……………….……………….75
圖(3-2-35)  序列長度五萬的ranmar exp的關聯函數……………….…………….75
圖(3-2-36)  序列長度五萬的roulet exp的關聯函數……………….……………..75
圖(3-2-37)  序列長度五十萬的ran0 exp的關聯函數……………….…………….76
圖(3-2-38)  序列長度五十萬的ran1 exp的關聯函數……………….…………….76
圖(3-2-39)  序列長度五十萬的ran2 exp的關聯函數……………………….…….77
圖(3-2-40)  序列長度五十萬的ranmar exp的關聯函數……………….………….77
圖(3-2-41)  序列長度五十萬的roulet exp的關聯函數……………….…………..77
圖(3-2-42)  指數分佈的關聯函數C_1的偏差值以不同標度檢視……...…………..78
圖(3-3-1)   序列長度十萬的ran0 gas1與ran0 gas2的分佈函數…………………80
圖(3-3-2)   序列長度十萬的ran1 gas1與ran1 gas2的分佈函數…………………80
圖(3-3-3)   序列長度十萬的ran2 gas1與ran2 gas2的分佈函數…………………81
圖(3-3-4)   序列長度十萬的ranmar gas1與ranmar gas2的分佈函數…………..81
圖(3-3-5)   序列長度十萬的roulet gas1與roulet gas2的分佈函數……………..81
圖(3-3-6)   序列長度五十萬的ran0 gas1與ran0 gas2的分佈函數………………82
圖(3-3-7)   序列長度五十萬的ran1 gas1與ran1 gas2的分佈函數………………82
圖(3-3-8)   序列長度五十萬的ran2 gas1與ran2 gas2的分佈函數………………83
圖(3-3-9)   序列長度五十萬的ranmar gas1與ranmar gas2的分佈函數………..83
圖(3-3-10)  序列長度五十萬的roulet gas1與roulet gas2的分佈函數…………..83
圖(3-3-11)  gas1與gas2的分佈函數的偏差……………………………....………84
圖(3-3-12)  gas1與gas2機率理論的一階中心矩………………………....………86
圖(3-3-13)  gas1與gas2機率理論的二階中心矩………………………....………86
圖(3-3-14)  gas1與gas2統計理論的二階中心矩………………………....………87
圖(3-3-15)  gas1與gas2機率理論的三階中心矩……………………….......…….87
圖(3-3-16)  gas1與gas2統計理論的三階中心矩………………………....………88
圖(3-3-17)  gas1與gas2機率理論的四階中心矩………………………....………88
圖(3-3-18)  gas1與gas2統計理論的四階中心矩………………………....………89
圖(3-3-19)  序列長度五千的ran0 gas1與ran0 gas2的關聯函數C_1.……………..90
圖(3-3-20)  序列長度五千的ran0 gas1與ran0 gas2的關聯函數C_2.……....……..90
圖(3-3-21)  序列長度五千的ran1 gas1與ran1 gas2的關聯函數C_1.…………….91
圖(3-3-22)  序列長度五千的ran1 gas1與ran1 gas2的關聯函數C_2.……....…….91
圖(3-3-23)  序列長度五千的ran2 gas1與ran2 gas2的關聯函數C_1.…………….91
圖(3-3-24)  序列長度五千的ran2 gas1與ran2 gas2的關聯函數C_1.…………….92
圖(3-3-25)  序列長度五千的ranmar gas1與ranmar gas2的關聯函數C_1.…….....92
圖(3-3-26)  序列長度五千的ranmar gas1與ranmar gas2的關聯函數C_2.…….....92
圖(3-3-27)  序列長度五千的roulet gas1與roulet gas2的關聯函數C_1.……….....93
圖(3-3-28)  序列長度五千的roulet gas1與roulet gas2的關聯函數C_2.……….....93
圖(3-3-29)  序列長度五萬的ran0 gas1與ran0 gas2的關聯函數C_1.…………….95
圖(3-3-30)  序列長度五萬的ran0 gas1與ran0 gas2的關聯函數C_2.……....…….95
圖(3-3-31)  序列長度五萬的ran1 gas1與ran1 gas2的關聯函數C_1.…………….95
圖(3-3-32)  序列長度五萬的ran1 gas1與ran1 gas2的關聯函數C_2.……....…….96
圖(3-3-33)  序列長度五萬的ran2 gas1與ran2 gas2的關聯函數C_1.…………….96
圖(3-3-34)  序列長度五萬的ran2 gas1與ran2 gas2的關聯函數C_1.…………….96
圖(3-3-35)  序列長度五萬的ranmar gas1與ranmar gas2的關聯函數C_1.…….....97
圖(3-3-36)  序列長度五萬的ranmar gas1與ranmar gas2的關聯函數C_2.…….....97
圖(3-3-37)  序列長度五萬的roulet gas1與roulet gas2的關聯函數C_1.……….....97
圖(3-3-38)  序列長度五萬的roulet gas1與roulet gas2的關聯函數C_2.……….....98
圖(3-3-39)  gas1與gas2的關聯函數C_1的偏差值…………………….….……......99
圖(3-3-40)  gas1與gas2的關聯函數C_2的偏差值…………………….….……....100

表格目錄
表(2-1-1)   亂數產生器的理論值……….................................................................11
表(3-3-1)   高斯分佈的關聯函數的偏差值遞減之冪次……….….….….….…..100
表(4-1-1)   均勻分佈的亂數產生器經比較後的總整理.......................................101
表(4-1-2)   指數分佈的亂數產生器經比較後的總整理.......................................101
表(4-1-3)   嚴格高斯分佈的亂數產生器經比較後的總整理...............................101
表(4-1-4)   近似高斯分佈的亂數產生器經比較後的總整理...............................102
表(4-1-5)   十個樣品的偏差值圖形的衰減之冪次…………………...................102

參考文獻
[1] C. -K. Peng, S. V. Buldyrev, A. L. Goldberger, S. Havlin, F. Sciortino, M. Simons, and H. E. Stanley, Nature (London) 356, 168 (1992).
[2] K. Kiyono, Z. R. Struzik, and Y. Yamamoto, Phys. Rev. Lett. 96, 068701 (2006).
[3] C. Castellano, S. Fortunato, and V. Loreto, Rev. Mod. Phys. 81, 591 (2009).
[4] K. Kremer and K. Binder, J. Chem. Phys. 81, 6381 (1984).
[5] C. C. Crabb, and J. Kovac, Macromolecules 18, 1430 (1985).
[6] M. Bishop, M. H. Kalos, and H. L. Frisch, J. Chem. Phys. 70, 1299 (1979).
[7] Y. Y. Gotlib et al., Macromolecules 13, 602 (1980).
[8] D. L. Ermak, and H. Buckholtz, J. Comput. Phys. 35, 169 (1980).
[9] M. P. Allen, and D. J. Tildesley, Computer Simulation of Liquids (Oxford University Press, New York, 1989).
[10] N. Metropolis, and S. Ulam, J. Am. Stat. Ass. 44, 41-335 (1949).
[11] B. J. Alder, S. P. Frankel, and V. A. Lewinsom, J. Chem. Phys. 23, 19 (1955).
[12]王子瑜, 曹恒光, 物理雙月刊 27, 456 (2005).
[13] J. M. Haile, Molecular dynamics Simulation (John Wiley & Sons, Inc , 1997).
[14]何柏樺, 碩士畢業論文 (淡江大學, 2008).
[15] Y. Yüksel, U. Akıncı, and H. Polat, Physica A 391, 415 (2012).
[16] H. E. Stanley, S.V. Buldyrev, A. L. Goldberger, S. Havlin, C. –K. Peng, and M. Simons, Physica A 200, 4 (1993).
[17] S. Ghahramani, Fundamentaks of probability with stochastic processes, third edition (Pearson Prentice Hall, 2005).
[18] H. P. William, A. T. Saul, T. V. William, and P. F. Brian, Numerical recipes in fortran, second edition (Cambridge University Press, 1992); H. P. William, A. T. Saul, T. V. William, and P. F. Brian, Numerical recipes, first edition (Cambridge University Press, 1986).
[19] P. L. David, and B. Kurt, A Guide to Monte Carlo Simulation in Statistical Physics (Cambridge University Press, New York, 2005).
[20] G. Marsaglia, and A. Zaman, Annals Appl. Prob. 1, 462 (1991).