給定網格狀資料點 D， 如果我們想要用 D 插值, 做出 ``bi-k-spline' C(x,y), 即: C 為數個多項式所拼接而成。
在本文中，我們將對 C 的一階、二階導數連續的情形分別做以下討論:
1. 先依網格狀資料點及導數連續性 設定方程組，並加入某特定條件，使得方程組的解唯一。
2. 找出使原方程組有唯一解的所有特定條件。
3. 探究上述所有相異解之間的同質性及規則。
4. 給定任意資料點，將解公式化為一般形式。

For any given data points D above a grid, we want to find the interpolating function C(x,y) (``bi-k-spline' interpolation)
such that all data points fit C. In this paper, we will give several conditions on C to obtain different smoothness:
1. Keep adding some specific conditions to obtain uniqueness of C.
2. Find the rule(s) for propergating the unique C.
3. Discuss common properties among propergation rules.
4. Fomulate propergation rules.

目錄
1 問題設定.................................................1
2 申論 k = 1 bi·linear spline .............................1
3 申論 k = 2 bi·quadratic spline ..........................2
  3.1 導數連續 ............................................2
  3.2 增加條件直到解唯一...................................5
  3.3 k = 2 時的一般形式...................................7
4 k-1 階導數連續的 bi-k-spline ............................9
  4.1『兩相鄰邊法』........................................9
  4.2 畫任意格 ----- 『十字型』與非『十字型』.............10
  4.3『兩相鄰邊法』的缺點 ................................11
5 k=3 及 k=4 非『十字型法』...............................12
  5.1 增加條件直到解唯一 --- 『井字型』...................12
  5.2 『井字型』與『大口型』的一些例子 ...................13
  5.3 一格的情況..........................................15
  5.4 指定邊上的一階導數..................................16
  5.5 由 N_y, E_x, W_x, S_y 反推 N, E, W, S ..............16
  5.6 二階連續 ...........................................19
  5.7 k=4 時其他導函數的造法 .............................21
  5.8 k=5 二階連續的公式化 ...............................21
6 結論 --- 與 Bezier 曲面比較 ............................22
參考文獻..................................................25

圖表目錄
圖.1  格點 G 及小格 .......................................1
圖.2  同一格上兩平行邊 ....................................5
圖.3  相鄰兩格的交錯邊 ....................................6
圖.4  不衝突的情形 ........................................7
圖.5  M = 2,N = 2 .........................................7
圖.6  C 與 W、S ...........................................8
圖.7  有無『十字型』......................................10
圖.8  任意格 .............................................11
圖.9  下十字型的位置 .....................................11
圖.10 『兩相鄰邊法』：k=1 及 k=2 ........................ 12
圖.11 k = 3 : M = 2,N = 2 ................................12
圖.12 大口型 .............................................13
圖.13 擴大完再給『口字型』 ...............................13
圖.14 井字型 .............................................14
圖.15 擴大完再給『井字型』 ...............................14
圖.16 『大口型』與擴大後取『井字型』 .....................15
圖.17 k = 3 :『小口型法』 ................................16
圖.18 N_y,E_x,W_x,S_y 與 C ...............................17
圖.19 格邊上偏導方程 .....................................17
圖.20 N, E, W, S 與 C 的關係 .............................18
圖.21 k = 3 一階連續 .....................................19
圖.22 N,E,W,S 與 C 相接處 為零階及二階導數連續 ...........20
圖.23 控制邊界與 L(x) 接近 ...............................20
圖.24 相鄰格 .............................................21
圖.25 k = 5 二階連續 .....................................22
圖.26 Bezier 曲面的控制點 ................................22
圖.27 兩組控制點的 Bezier 曲面 ...........................23

表.1  條件形成的矩陣 ......................................5
表.2  c^{i,j} 與 w^{i,j}, s^{i,j} 的關係 ..................9
表.3  已決定的項 .........................................19

[1] R.H. Wang, Multivariate Spline Functions and their Applications, MIA vol.529, Kluwer Academic Publishers and Science Press, Dordrecht, Beijing, 2001.
[2] W.T. Wu, Mathematics Mechanization, Kluwer Academic Publishers, 2000.
[3] 王東明, 消去法及其應用, 科學出版社, 2002.